Dimostrare la relazione tra distanza Mahalanobis e leva?

Ho visto le formule su Wikipedia. che riguardano la distanza e la leva di Mahalanobis:

La distanza di Mahalanobis è strettamente correlata alla statistica della leva finanziaria, $h$ , ma ha una scala diversa:
$D^{2} = (N - 1) (h - \frac{1}{N}) .$ $D^2 = (N - 1)(h - \tfrac{1}{N}).$

In un articolo collegato , Wikipedia descrive $h$ in questi termini:

Nel modello di regressione lineare, il punteggio di leva per l' unità di dati $i^{th}$ è definito come:
$h_{i i} = (H)_{i i},$ $h_{ii}=(H)_{ii},$ l' elemento diagonale $i^{th}$ della matrice cappello $H=X(X^{\top}X)^{-1}X^{\top}$ , dove indica la trasposizione della matrice. $^{\top}$

Non riesco a trovare una prova da nessuna parte. Ho provato a partire dalle definizioni ma non posso fare alcun progresso. Qualcuno può dare qualche suggerimento?

— dave2d
fonte

La mia descrizione della distanza di Mahalanobis da fondo a cima spiegazione della distanza di Mahalanobis? include due risultati chiave:

Per definizione, non cambia quando i regressori vengono spostati uniformemente.
Il quadrato Mahalanobis distanza fra vettori $x$ ed $y$ è dato da
$D^{2} (x, y) = (x - y)^{'} Σ^{- 1} (x - y)$ $D^2(x,y) = (x-y)^\prime \Sigma^{-1}(x-y)$ dove $\Sigma$ è la covarianza dei dati.

(1) ci consente di assumere che i mezzi dei regressori siano tutti zero. Resta da calcolare $h_i$ . Tuttavia, affinché l'affermazione sia vera, dobbiamo aggiungere un'altra ipotesi:

Il modello deve includere un'intercettazione.

Tenendo conto di ciò, lascia che ci siano $k \ge 0$ regressori e $n$ dati, scrivendo il valore del regressore $j$ per l'osservazione $i$ come $x_{ij}$ . Lascia che il vettore di colonna di questi $n$ valori per il regressore $j$ sia scritto $\mathbf{x}_{,j}$ e il vettore di riga di questi valori $k$ per l'osservazione $i$ sia scritto $\mathbf{x}_i$ . Quindi la matrice del modello è

X = (\begin{matrix} 1 & x_{11} & \dots & x_{1 k} \\ 1 & x_{21} & \dots & x_{2 k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 1 & x_{n 1} & \dots & x_{n k} \end{matrix})

$X = \pmatrix{ 1 &x_{11} &\cdots &x_{1k} \\ 1 &x_{21} &\cdots &x_{2k} \\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\ 1 &x_{n1} &\cdots &x_{nk}}$

e, per definizione, la matrice del cappello è

H = X (X^{'} X)^{- 1} X^{'},

$H = X(X^\prime X)^{-1} X^\prime,$

$i$

\begin{matrix} (1) & h_{i} = h_{i i} = (1; x_{i}) (X^{'} X)^{- 1} (1; x_{i})^{'} . \end{matrix}

$h_i = h_{ii} = (1; \mathbf{x}_i) (X^\prime X)^{-1} (1; \mathbf{x}_i)^\prime.\tag{1}$

Non c'è nient'altro che elaborare l'inverso della matrice centrale, ma in virtù del primo risultato chiave, è facile, specialmente quando lo scriviamo in forma di matrice a blocchi:

X^{'} X = n (\begin{matrix} 1 & 0^{'} \\ 0 & C \end{matrix})

$X^\prime X = n\pmatrix{1 & \mathbf{0}^\prime \\ \mathbf{0} & C}$

$\mathbf{0} = (0,0,\ldots,0)^\prime$

C_{j k} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i j} x_{i k} = \frac{n - 1}{n} Cov (x_{j}, x_{k}) = \frac{n - 1}{n} Σ_{j k} .

$C_{jk} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_{ij} x_{ik} = \frac{n-1}{n}\operatorname{Cov}(\mathbf{x}_j, \mathbf{x}_k) = \frac{n-1}{n}\Sigma_{jk}.$

$\Sigma$

(X^{'} X)^{- 1} = \frac{1}{n} (\begin{matrix} 1 & 0^{'} \\ 0 & C^{- 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{1}{n} & 0^{'} \\ 0 & \frac{1}{n - 1} Σ^{- 1} \end{matrix}) .

$(X^\prime X)^{-1} = \frac{1}{n}\pmatrix{1 & \mathbf{0}^\prime \\ \mathbf{0} & C^{-1}} = \pmatrix{\frac{1}{n} & \mathbf{0}^\prime \\ \mathbf{0} & \frac{1}{n-1}\Sigma^{-1}}.$

$(1)$

\begin{aligned} h_{i} & = (1; x_{i}) (\begin{matrix} \frac{1}{n} & 0^{'} \\ 0 & \frac{1}{n - 1} Σ^{- 1} \end{matrix}) (1; x_{i})^{'} \\ = \frac{1}{n} + \frac{1}{n - 1} x_{i} Σ^{- 1} x_{i}^{'} \\ = \frac{1}{n} + \frac{1}{n - 1} D^{2} (x_{i}, 0) . \end{aligned}

$\eqalign{ h_i &= (1; \mathbf{x}_i) \pmatrix{\frac{1}{n} & \mathbf{0}^\prime \\ \mathbf{0} & \frac{1}{n-1}\Sigma^{-1}}(1; \mathbf{x}_i)^\prime \\ &=\frac{1}{n} + \frac{1}{n-1}\mathbf{x}_i \Sigma^{-1}\mathbf{x}_i^\prime \\ &=\frac{1}{n} + \frac{1}{n-1} D^2(\mathbf{x}_i, \mathbf{0}). }$

$D_i^2 = D^2(\mathbf{x}_i, \mathbf{0})$

D_{i}^{2} = (n - 1) (h_{i} - \frac{1}{n}),

$D_i^2 = (n-1)\left(h_i - \frac{1}{n}\right),$

QED .

$1/n$ $X$ $n-1$ $n-1$ $n$

$i$

Codice R per mostrare che la relazione contiene effettivamente:

x <- mtcars

# Compute Mahalanobis distances
h <- hat(x, intercept = TRUE); names(h) <- rownames(mtcars)
M <- mahalanobis(x, colMeans(x), cov(x))

# Compute D^2 of the question
n <- nrow(x); D2 <- (n-1)*(h - 1/n)

# Compare.
all.equal(M, D2)               # TRUE
print(signif(cbind(M, D2), 3))

— whuber
fonte

Risposta eccellente, molto ben arrotondata con rigore e intuizione. Saluti!

— cgrudz,

Grazie per il post @whuber! Per il controllo della sanità mentale, ecco il codice R per mostrare che la relazione contiene effettivamente: x <- mtcars rownames (x) <- NULL colnames (x) <- NULL n <- nrow (x) h <- hat (x, T) mahalanobis (x, colMeans (x), cov (x)) (n-1) * (h - 1 / n) all.equal (mahalanobis (x, colMeans (x), cov (x)), (n-1 ) * (h - 1 / n))

— Tal Galili,

@Tal Non pensavo di aver bisogno di un controllo di integrità - ma grazie per il codice. :-) Ho apportato modifiche per chiarire un po 'e il suo output.

— whuber

@whuber, volevo un esempio che mostra come far funzionare l'uguaglianza (chiarendo che ho capito bene le ipotesi). Ho anche esteso la voce Wiki pertinente: en.wikipedia.org/wiki/… (sentiti libero di spendere anche lì, come ritieni opportuno :))

— Tal Galili,