Grazie per questa semplice ma profonda domanda sui concetti statistici fondamentali di media, mediana e modalità. Ci sono alcuni metodi / dimostrazioni meravigliosi disponibili per spiegare e comprendere una comprensione intuitiva - piuttosto che aritmetica - di questi concetti, ma sfortunatamente non sono ampiamente conosciuti (o insegnati a scuola, per quanto ne sappia).
Significare:
1. Punto di equilibrio: significa il fulcro
Il modo migliore per capire il concetto di significa pensarlo come il punto di equilibrio su un'asta uniforme. Immagina una serie di punti dati, come {1,1,1,3,3,6,7,10}. Se ciascuno di questi punti è segnato su un'asta uniforme e pesi uguali sono posizionati in ciascun punto (come mostrato di seguito), allora il fulcro deve essere posizionato alla media dei dati affinché l'asta si bilanci.
Questa dimostrazione visiva porta anche a un'interpretazione aritmetica. La logica aritmetica di ciò è che per bilanciare il fulcro, la deviazione negativa totale dalla media (sul lato sinistro del fulcro) deve essere uguale alla deviazione positiva totale dalla media (sul lato destro). Quindi, la media funge da punto di bilanciamento in una distribuzione.
Questo visual consente una comprensione immediata della media in relazione alla distribuzione dei punti dati. Un'altra proprietà della media che diventa immediatamente evidente da questa dimostrazione è il fatto che la media sarà sempre tra i valori minimo e massimo nella distribuzione. Inoltre, l'effetto dei valori anomali può essere facilmente compreso: la presenza di valori anomali potrebbe spostare il punto di bilanciamento e quindi influire sulla media.
2. Valore di ridistribuzione (equa quota)
Un altro modo interessante di comprendere la media è di pensarla come un valore di ridistribuzione . Questa interpretazione richiede una certa comprensione dell'aritmetica alla base del calcolo della media, ma utilizza una qualità antropomorfa - vale a dire il concetto socialista di ridistribuzione - per comprendere intuitivamente il concetto di media.
Il calcolo della media implica la somma di tutti i valori in una distribuzione (insieme di valori) e la divisione della somma per il numero di punti dati nella distribuzione.
X¯= ( ∑i = 1nXio) / n
Un modo per comprendere la logica alla base di questo calcolo è quello di considerare ogni punto dati come mele (o qualche altro oggetto fungibile). Utilizzando lo stesso esempio di prima, abbiamo otto persone nel nostro campione: {1,1,1,3,3,6,7,10}. La prima persona ha una mela, la seconda persona ha una mela e così via. Ora, se si vuole ridistribuire il numero di mele in modo che sia "giusto" per tutti, è possibile utilizzare la media della distribuzione per farlo. In altre parole, puoi dare quattro mele (cioè il valore medio) a tutti affinché la distribuzione sia equa / uguale. Questa dimostrazione fornisce una spiegazione intuitiva per la formula sopra: dividere la somma di una distribuzione per il numero di punti dati equivale a partizionare l'intera distribuzione equamente a tutti i punti dati.
3. Visual Mnemonics
Questi seguenti mnemonici visivi forniscono l'interpretazione della media in un modo unico:
Questo è un mnemonico per l' interpretazione del valore di livellamento della media. L'altezza della traversa di A è la media delle altezze delle quattro lettere.
E questo è un altro mnemonico per l' interpretazione del punto di equilibrio della media. La posizione del fulcro è approssimativamente la media delle posizioni di M, E e N. raddoppiato
Mediano
Una volta compresa l'interpretazione della media come punto di bilanciamento su un'asta , la mediana può essere dimostrata da un'estensione della stessa idea: il punto di bilanciamento su una collana .
Sostituire l'asta con una stringa, ma mantenere i contrassegni e i pesi dei dati. Quindi alle estremità, attacca una seconda corda, più lunga della prima, per formare un anello [come una collana] e drappeggia il filo su una puleggia ben lubrificata.
Supponiamo, inizialmente, che i pesi siano distinti. La puleggia e l'anello si bilanciano quando lo stesso numero di pesi è su ciascun lato. In altre parole, il ciclo "si bilancia" quando la mediana è il punto più basso.
Si noti che se uno dei pesi viene spostato lungo il ciclo creando un valore anomalo, il ciclo non si sposta. Ciò dimostra, fisicamente, il principio che la mediana non è influenzata dai valori anomali.
Modalità
La modalità è probabilmente il concetto più semplice da comprendere in quanto comporta l'operazione matematica più elementare: il conteggio. Il fatto che sia uguale al punto dati che si verifica più frequentemente porta ad un acronimo: " M ost-spesso O ccurring D ata E lement".
La modalità può anche essere considerata il valore più tipico in un set. (Sebbene una comprensione più profonda di "tipico" porterebbe al valore rappresentativo o medio. Tuttavia, è opportuno equiparare "tipico" con la modalità basata sul significato molto letterale della parola "tipico".)
fonti:
- The Median è un punto di equilibrio - Lynch, The College Mathematics Journal (2009)
- Rendere memorabile la statistica: nuove mnemoniche e motivazioni - Lesser, Statistical Education, JSM (2011)
- On the Use of Mnemonics for Teaching Statistics - Lesser, Model Assisted Statistics and Applications, 6 (2), 151-160 (2011)
- Che cosa significa? - Watier, Lamontagne e Chartier, Journal of Statistics Education, Volume 19, Number 2 (2011)
- Tipico? Idee per bambini e insegnanti sulla media - Russell and Mokros, ICOTS 3 (1990) RIFERIMENTO GENERALE: http://www.amstat.org/publications/jse/v22n3/lesser.pdf