Questa distribuzione ha un nome?

23

Oggi mi è venuto in mente che la distribuzione potrebbe essere vista come un compromesso tra Gaussiano e Laplace distribuzioni, per eUna simile distribuzione ha un nome? E ha un'espressione per la sua costante di normalizzazione? Il calcolo mi sorprende, perché non so nemmeno come iniziare a risolvere nell'integrale

f (x) \propto \exp (- \frac{| x - μ |^{p}}{β})

$f(x)\propto\exp\left(-\frac{|x-\mu|^p}{\beta}\right)$

x \in R, p \in [1, 2]

$x\in\mathbb{R}, p\in[1,2]$

β > 0.

$\beta>0.$

C

$C$

1 = C \cdot \int_{- \infty}^{\infty} \exp (- \frac{| x - μ |^{p}}{β}) d x

$1=C\cdot \int_{-\infty}^\infty \exp\left(-\frac{|x-\mu|^p}{\beta}\right) dx$

— Sycorax dice Reinstate Monica
fonte

34

Risposta breve

Il pdf che descrivi è più appropriatamente noto come distribuzione di Subbotin ... vedi l'articolo di Subbotin del 1923 che ha esattamente la stessa forma funzionale, con $Y = X-\mu$ .

Subbotin, MT (1923), Sulla legge della frequenza dell'errore, Matematicheskii Sbornik, 31, 296-301.

chi inserisce il pdf nella sua equazione 5, nella forma:

f (y) = K \exp [- {(\frac{| y |}{σ})}^{p}]

$f(y) = K \exp\left[-\left(\frac{|y|}{\sigma}\right)^p\right]$

con costante di integrazione: $K = \large\frac{p}{2 \sigma \Gamma \left(\frac{1}{p}\right)}$ , secondo la derivazione di Xian dove $\beta = \sigma^p$

Risposta più lunga

Sfortunatamente, Wikipedia non è sempre "aggiornata", o accurata, o talvolta solo 80 anni indietro rispetto ai tempi. Dopo Subbotin (1923), la distribuzione è stata ampiamente utilizzata in letteratura, tra cui:

Diananda, PH (1949), Nota su alcune proprietà delle stime di massima verosimiglianza, Atti della Cambridge Philosophical Society, 45, 536-544.
Turner, ME (1960), Metodi di stima euristica, Biometria, 16 (2), 299-301.
Zeckhauser, R. e Thompson, M. (1970), regressione lineare con termini di errore non normali, The Review of Economics and Statistics, 52, 280-286.
McDonald, JB e Newey, WK (1988), Stima parzialmente adattativa dei modelli di regressione tramite la distribuzione t generalizzata, Teoria Econometrica, 4, 428-457.
Johnson, NL, Kotz, S. e Balakrishnan, N. (1995), Continuous Univariate Distributions, volume 2, 2nd edition, Wiley: New York (1995, p.422)
Mineo, AM e Ruggieri, M. (2005), uno strumento software per la distribuzione di potenza esponenziale: il pacchetto normalp, Journal of Statistical Software, 12 (4), 1-21.

... tutto prima del documento di riferimento su Wiki. Oltre a essere obsoleto da 80 anni, il nome usato su Wiki "una normalità generalizzata" sembra anche inappropriato perché ci sono un'infinità di distribuzioni che sono generalizzazioni della Normale, e il nome è, in ogni caso, ambiguo alla letteratura. Inoltre, non riconosce l'autore originale.

— Wolfies
fonte

17

Per ovvi motivi, puoi eliminare μ e β, quindi tutto ciò che rimane è Quindi

\int_{0}^{\infty} \exp {- x^{p}} d x \overset{y = x^{p}}{=} \int_{0}^{\infty} \exp {- y} | \frac{d x}{d y} | d y \overset{x = y^{1 / p}}{=} \int_{0}^{\infty} \exp {- y} \frac{1}{p} y^{\frac{1}{p} - 1} d y = Γ (1 / p) \frac{1}{p}

$\int_0^\infty \exp\{−x^p\}\text{d}x\stackrel{y=x^p}{=}\int_0^\infty \exp\{−y\}\left|\dfrac{\text{d}x}{\text{d}y}\right|\text{d}y\stackrel{x=y^{1/p}}{=}\int_0^\infty \exp\{−y\}\frac{1}{p}y^{\frac{1}{p}-1}\text{d}y=\Gamma(1/p)\frac{1}{p}$

\int_{- \infty}^{\infty} \exp {- β^{- 1} | x - μ |^{p}} d x = \frac{2 Γ (1 / p)}{p} β^{1 / p}

$\int_{-\infty}^\infty \exp\{−\beta^{-1}|x-\mu|^p\}\text{d}x=\dfrac{2\Gamma(1/p)}{p}\beta^{1/p}$

— Xi'an
fonte

2

D'oh. Ovviamente. E per caso ti capita di sapere se ha un nome?

— Sycorax dice di ripristinare Monica

1

È in qualche modo collegato alle [distribuzioni di Weibull e Fréchet] ( en.wikipedia.org/wiki/… ), tuttavia quelle hanno un termine di potere di fronte all'esponenziale. È quindi più una distribuzione gaussiana per un'altra metrica che la distanza quadratica.

— Xi'an

1

+1 Non sarebbe sbagliato chiamarlo distribuzione "power Gamma".

— whuber

13

$p\in [1,2]$

Il riferimento fornito in Wikipedia è Saralees Nadarajah (2005) Una distribuzione normale generalizzata , Journal of Applied Statistics, 32: 7, 685-694, DOI: 10.1080 / 02664760500079464. Questo articolo menziona che la costante di normalizzazione si trova nella "semplice integrazione" - presumo seguendo la risposta di Xi'an.

— Juho Kokkala
fonte