Collegamento tra varianza e distanze a coppie all'interno di una variabile

Per favore, prova che se abbiamo due variabili (uguale dimensione del campione) e e la varianza in è maggiore rispetto a , allora anche la somma delle differenze al quadrato (cioè, distanze euclidee quadrate) tra i punti di dati all'interno di è maggiore di che entro . $X$ $Y$ $X$ $Y$ $X$ $Y$

variance distance

— ttnphns
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Per favore chiarisci: quando dici varianza , intendi varianza campione ? Quando dici la somma delle differenze quadrate intendi

\sum_{i, j} (x_{i} - x_{j})^{2}

$\sum_{i,j} (x_i - x_j)^2$ ?

— cardinale il

Supponendo quanto precede:

valutando attentamente gli elementi nel periodo incrociato. Immagino che tu possa colmare le (piccole lacune). Il risultato segue quindi in modo banale.

\sum_{i, j} (x_{i} - x_{j})^{2} = \sum_{i \neq j} ((x_{i} - \bar{x}) - (x_{j} - \bar{x}))^{2} = 2 n \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2},

$\sum_{i,j} (x_i - x_j)^2 = \sum_{i \neq j} ((x_i - \bar{x}) - (x_j - \bar{x}))^2 = 2 n \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 \> ,$

— cardinale il

C'è anche un modo per farlo "senza" alcun calcolo considerando il fatto che se

sono iid da

(con una varianza ben definita), allora

. Tuttavia, richiede una comprensione leggermente più solida dei concetti di probabilità.

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

F

$F$

E (X_{1} - X_{2})^{2} = 2 V a r (X_{1})

$\mathbb E (X_1 - X_2)^2 = 2 \mathrm{Var}(X_1)$

— cardinale il

Per una domanda correlata, ho usato una visualizzazione di ciò che sta accadendo qui in una risposta su stats.stackexchange.com/a/18200 : le differenze al quadrato sono aree di quadrati.

— whuber

@whuber: molto bello. In qualche modo mi ero perso questa tua risposta lungo la strada.

— cardinale il

Solo per fornire una risposta "ufficiale", per integrare le soluzioni delineate nei commenti, avviso

Nessuno di , , o vengono modificati spostando tutte le uniformemente a per una costante o spostando tutto $\operatorname{Var} ((X_i))$ $\operatorname{Var} ((Y_i))$ $\sum_{i,j}(X_i-X_j)^2$ $\sum_{i,j} (Y_i-Y_j)^2$ $X_i$ $X_i-\mu$ $\mu$ to per qualche costante . Quindi possiamo supporre che tali spostamenti siano stati eseguiti per rendere , da cui e . $Y_i$ $Y_i-\nu$ $\nu$ $\sum X_i = \sum Y_i = 0$ $\operatorname{Var}((X_i)) = \sum X_i^2$ $\operatorname{Var}((Y_i)) = \sum Y_i^2$
Dopo aver eliminato i fattori comuni da ogni lato e utilizzando (1), la domanda chiede di mostrare che implica . $\sum X_i^2 \ge \sum Y_i^2$ $\sum_{i,j} (X_i-X_j)^2 \ge \sum_{i,j} (Y_i-Y_j)^2$
La semplice espansione dei quadrati e il riordino delle somme danno con un risultato simile per il s'.
$\sum_{i, j} (X_{i} - X_{j})^{2} = 2 \sum X_{i}^{2} - 2 (\sum X_{i}) (\sum X_{j}) = 2 \sum X_{i}^{2} = 2 Var ((X_{i}))$ $\sum_{i,j}(X_i-X_j)^2 = 2\sum X_i^2 - 2\left(\sum X_i\right)\left(\sum X_j\right) = 2\sum X_i^2 = 2\operatorname{Var}((X_i))$ $Y$

La prova è immediata.

— whuber
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