Confronto tra gli stimatori di Bayes

1. Considera la perdita quadratica , con il precedente dato dove . Sia la probabilità. Trova lo stimatore di Bayes .$L(\theta,\delta)=(\theta-\delta)^2$$\pi(\theta)$$\pi(\theta)\sim U(0,1/2)$$f(x|\theta)=\theta x^{\theta-1}\mathbb{I}_{[0,1]}(x), \theta>0$$\delta^\pi$

2. Considera la perdita quadratica ponderata dove con precedente . Sia sia la probabilità. Trova lo stimatore di Bayes .$L_w(\theta,\delta)=w(\theta)(\theta-\delta)^2$$w(\theta)=\mathbb{I}_{(-\infty,1/2)}$$\pi_1(\theta)=\mathbb{I}_{[0,1]}(\theta)$$f(x|\theta)=\theta x^{\theta-1}\mathbb{I}_{[0,1]}(x), \theta>0$$\delta^\pi_1$

3. Confronta e$\delta^\pi$$\delta^\pi_1$

Per prima cosa ho notato che , e ho assunto che questa è la probabilità, altrimenti non ottengo alcun posteriore, quindi quindi lo stimatore di Bayes rispetto alla perdita quadratica è $f(x|\theta)\sim Beta(\theta,1)$

$$\pi(\theta|x)\propto f(x|\theta)\pi(\theta)=\theta x^{\theta-1}\mathbb{I}_{[0,1]}*2\mathbb{I}_{(0,1/2)}(\theta)\sim Beta(\theta,1)$$ $$\mathbb{E}[\pi(\theta|x)]=\frac{\theta}{\theta+1}$$

Sto guardando nel libro The Bayesian Choice e c'è un teorema sullo stimatore di Bayes associato alla perdita quadratica ponderata ed è dato da

$$\delta^\pi(x)=\frac{\mathbb{E}^\pi[w(\theta)\theta|x]}{\mathbb{E}^\pi[w(\theta)|x]}$$

Qualcuno può spiegarmi come lo calcolo?

Quello che ho provato è:

$$\delta^\pi(x)=\frac{\frac{\int \theta w(\theta)f(x|\theta)\pi(\theta)d\theta}{\int w(\theta)f(x|\theta)\pi(\theta)d\theta}}{\frac{\int f(x|\theta)\pi(\theta)d\theta}{\int w(\theta)f(x\theta)\pi(\theta)d\theta}}$$

So che il supporto è , ma quando ho provato a integrarmi nel numeratore$[0,\frac{1}{2}]$

$$\int \theta w(\theta)f(x|\theta)\pi(\theta)d\theta=\int_0^\frac{1}{2}\theta\theta x^{\theta-1}d\theta=\frac{1}{x}\int_0^\frac{1}{2}\theta^2 x^\theta d\theta$$

Non ottengo buoni risultati.

In primo luogo, nota che ho corretto la formulazione originale della domanda con le funzioni dell'indicatore nelle definizioni di probabilità in quanto devono essere funzioni di not . Quindi la probabilità è che si integra chiaramente in uno:$x$$\theta$

$$f(x)=\theta x^{\theta-1}\mathbb{I}_{[0,1]}(x)$$ $$\int_0^1 \theta x^{\theta-1}\text{d}x = 1$$

In secondo luogo, il posteriore in non è una funzione Beta poiché come indicato da Greenparker A causa del vincolo sui valori di non è neppure una distribuzione Gamma, ma un troncamento della distribuzione Gamma.$\theta$

$$\pi(\theta|x)\propto\, \mathbb{I}_{[0,1/2]}(\theta)\theta x^{\theta-1}\propto \mathbb{I}_{[0,1/2]}(\theta)\,\theta \exp\{\log(x)\theta\}$$ $\theta$

Quindi lo stimatore di Bayes è l'aspettativa posteriore che potrebbe sembrare richiedere l'uso della funzione Gamma incompleta ma che può essere derivato in forma chiusa mediante l'integrazione per parte: allora

$$\begin{align*}\mathbb{E}[\theta|x] &= \int_0^{1/2} \theta\times\theta \exp\{\log(x)\theta\}\text{d}\theta \Big/ \int_0^{1/2} \theta \exp\{\log(x)\theta\}\text{d}\theta\\&= \int_0^{1/2} \theta^2 \exp\{\log(x)\theta\}\text{d}\theta \Big/ \int_0^{1/2} \theta \exp\{\log(x)\theta\}\text{d}\theta\\\end{align*}$$ $$\int_0^{1/2} \theta^k \exp\{-\alpha\theta\}\text{d}\theta = \frac{-1}{\alpha}\left[\theta^k \exp\{-\alpha\theta\}\right]_0^{1/2} + \frac{k}{\alpha}\int_0^{1/2} \theta^{k-1} \exp\{-\alpha\theta\}\text{d}\theta$$ $$\int_0^{1/2} \exp\{-\alpha\theta\}\text{d}\theta = \frac{1-\exp\{-\alpha/2\}}{\alpha}$$

Infine, come indicato nel mio libro , infatti, minimizzare in equivale a minimizzare in che a sua volta equivale a minimizzare in che equivale a sostituire il precedente originale con un nuovo precedente che deve essere rinormalizzato in una densità, ovvero $\delta$

$$\int w(\theta)(\theta-\delta)^2 \pi(\theta|x) \text{d}\theta$$ $\delta$ $$\int w(\theta)(\theta-\delta)^2 \pi(\theta)f(x|\theta) \text{d}\theta$$ $\delta$ $$\int (\theta-\delta)^2 w(\theta)\pi(\theta)f(x|\theta) \text{d}\theta$$ $\pi$$w(\theta)\pi(\theta)$ $$\pi_1(\theta)=w(\theta)\pi(\theta) \Big/\int w(\theta)\pi(\theta)\text{d}\theta$$

La risposta per la parte della perdita di errore quadrata è errata.

$$\pi(\theta|x) \propto f(x|\theta) \pi(\theta) = 2\theta x^{\theta-1}I_{(0,1/2)}(\theta).$$

Questa è una distribuzione in , non in , e la variabile casuale nella parte posteriore è . Quindi la tua risposta non è corretta e la risposta corretta sarebbe la media posteriore di quella distribuzione.$Beta(\theta,1)$$x$$\theta$$\theta$

Per la seconda parte

(Il precedente per la funzione di perdita ponderata è ma ti riferisci ad esso come . Sto cambiando la notazione di nuovo a .)$\pi_1$$\pi$$\pi_1$

Let , dove è una costante normalizzante. Devi calcolare$\pi'(\theta) = cw(\theta) \pi_1(\theta)$$c$

$$\begin{align*} \delta^{\pi_1}(x) & = \dfrac{E^{\pi_1}[w(\theta) \theta |x ]}{E^{\pi_1}[w(\theta|x)]}\\ & = \dfrac{\int w(\theta) \theta f(x|\theta) \pi_1(\theta)\, d\theta}{\int w(\theta) f(x|\theta)\pi_1(\theta)\, d\theta}\\ & = \dfrac{\int \theta f(x|\theta) \pi'(\theta) \,d\theta}{\int f(x|\theta) \pi'(\theta) \, d\theta}\\ & = E^{\pi'}[\theta|x] \end{align*}$$

Pertanto, per la funzione di perdita dei minimi quadrati ponderati, il teorema afferma che la stima di Bayes è la media posteriore rispetto a un precedente diverso. L'essere precedente

$$\pi'(\theta) \propto w(\theta) \pi_1(\theta).$$

La costante di normalizzazione è .$\int_{\theta} w(\theta) \pi(\theta) d\theta = E_{\pi_1}[w(\theta)]$

$$\begin{align*} E_{\pi_1}[w(\theta)] & = \int_{0}^{1/2} I_{0,1}(\theta) d(\theta) = \frac{1}{2}. \end{align*}$$

Quindi il precedente è . Questo è lo stesso che avevi nella prima domanda.$\pi'(\theta) = 2I_{(0,1/2)}(\theta)$

Quindi la risposta per gli scenari (qualunque essa sia) sarà la stessa. Puoi trovare l'integrale qui . Tuttavia, potrebbe essere sufficiente correggere la forma della risposta e non completare l'integrale.