Esiste una distribuzione a forma di plateau?

30

Sto cercando una distribuzione in cui la densità di probabilità diminuisca rapidamente dopo qualche punto di distanza dalla media, o in parole mie una "distribuzione a forma di plateau".

Qualcosa tra il gaussiano e l'uniforme.

distributions normal-distribution uniform

— dontloo
fonte

8

Potresti sommare un camper gaussiano e un camper uniforme.

— StrongBad

3

A volte si sente parlare delle cosiddette distribuzioni platicurtiche .

— JM non è uno statistico il

53

È possibile che si stia cercando una distribuzione nota con i nomi di normale generalizzato (versione 1) , distribuzione di Subbotin o distribuzione di potenza esponenziale. È parametrizzato per posizione , scala e forma con pdf $\mu$ $\sigma$ $\beta$

\frac{β}{2 σ Γ (1 / β)} \exp [- {(\frac{| x - μ |}{σ})}^{β}]

$\frac{\beta}{2\sigma\Gamma(1/\beta)} \exp\left[-\left(\frac{|x-\mu|}{\sigma}\right)^{\beta}\right]$

come puoi notare, per assomiglia e converge alla distribuzione di Laplace, con converge alla normalità e quando alla distribuzione uniforme. $\beta=1$ $\beta=2$ $\beta = \infty$

Se stai cercando un software che lo abbia implementato, puoi controllare la normalplibreria per R (Mineo e Ruggieri, 2005). La cosa bella di questo pacchetto è che, tra le altre cose, implementa la regressione con errori normalmente distribuiti, cioè minimizzando la norma . $L_p$

Mineo, AM, & Ruggieri, M. (2005). Uno strumento software per la distribuzione esponenziale dell'alimentazione: il pacchetto normalp. Journal of Statistical Software, 12 (4), 1-24.

— Tim
fonte

20

Il commento di StrongBad è davvero un buon suggerimento. La somma di un camper uniforme e di un gaussiano può darti esattamente quello che stai cercando se scegli i parametri giusti. E in realtà ha una soluzione a forma chiusa ragionevolmente bella.

Il pdf di questa variabile è dato dall'espressione:

\frac{1}{4 a} [e r f (\frac{x + a}{σ \sqrt{2}}) - e r f (\frac{x - a}{σ \sqrt{2}})]

$\dfrac{1}{4a}\left[\mathrm{erf}\left(\dfrac{x+a}{\sigma\sqrt{2}}\right)-\mathrm{erf}\left(\dfrac{x-a}{\sigma\sqrt{2}}\right) \right]$

$a$ è il "raggio" del RV uniforme a media zero. è la deviazione standard del camper gaussiano a media zero. $\sigma$

— Steve Cox
fonte

3

Riferimento: Bhattacharjee, GP, Pandit, SNN e Mohan, R. 1963. Catene dimensionali che coinvolgono distribuzioni di errori rettangolari e normali. Technometrics, 5, 404–406.

— Tim

15

C'è un numero infinito di distribuzioni "a forma di plateau".

Cercavi qualcosa di più specifico di "tra il gaussiano e l'uniforme"? È piuttosto vago.

Eccone una semplice: puoi sempre attaccare una mezza normale ad ogni estremità di una divisa:

Puoi controllare la "larghezza" dell'uniforme rispetto alla scala della normale in modo da poter avere plateau più ampi o più stretti, dando un'intera classe di distribuzioni, che includono il gaussiano e l'uniforme come casi limitanti.

La densità è:

$\frac{h}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu+w/2)^2} \mathbb{I}_{x\leq \mu-w/2} \\ + \:\frac{h}{\sqrt{2\pi}\sigma}\quad\mathbb{I}_{\mu-w/2< x\leq \mu+w/2} \\ + \frac{h}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu-w/2)^2} \mathbb{I}_{x > \mu+w/2}$

dove $h = \frac{1}{1 + w/(\sqrt{2\pi}\sigma)}$

Come per fixed , ci avviciniamo all'uniforme su e come per fixed ci avviciniamo a . $\sigma \to 0$ $w$ $(\mu-w/2,\mu+w/2)$ $w \to 0$ $\sigma$ $N(\mu,\sigma^2)$

Ecco alcuni esempi (con in ogni caso): $\mu=0$

Potremmo forse definire questa densità una "uniforme dalla coda gaussiana".

— Glen_b - Ripristina Monica
fonte

1

Ach! Mi piace frequentare le palle formali in divisa Gausian dalla coda! ;)

— Alexis,

7

Vedi la mia distribuzione "Devil's tower" qui [1]:

$f(x) = 0.3334$ , per ; , per ; e , per. $|x| < 0.9399$
$f(x) = 0.2945/x^2$ $0.9399 \leq |x| < 2.3242$
$f(x) = 0$ $2.3242 \leq |x|$

La distribuzione "slip-dress" è ancora più interessante.

È facile costruire distribuzioni con qualsiasi forma tu voglia.

[1]: Westfall, PH (2014)
"Kurtosis as Peakedness, 1905 - 2014. PIR"
Em. Statistica. 68 (3): 191–195. doi: 10.1080 / 00031305.2014.917055
accesso pubblico pdf: http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC4321753/pdf/nihms-599845.pdf

— Peter Westfall
fonte

Ciao Peter - Mi sono preso la libertà di dare la funzione e di inserire un'immagine, oltre a fornire un riferimento completo. (Se la memoria serve penso che Kendall e Stuart forniscano i dettagli di un simile debunking nel loro testo classico. Se ricordo bene - è passato molto tempo - credo che discutano anche che non è una coda pesante)

— Glen_b -Reinstate Monica

Grazie Glen_b. Non ho mai detto che la curtosi misurasse ciò che misurano i numeri dell'indice di coda. Piuttosto, il mio articolo dimostra che la curtosi è, per una classe molto ampia di distribuzioni, quasi uguale a E (Z ^ 4 * I (| Z |> 1)). Pertanto, la kurtosi non dice chiaramente nulla del "picco", che si trova generalmente nell'intervallo {Z: | Z | <1}. Piuttosto, è determinato principalmente dalle code. Chiamalo E (Z ^ 4 * I (| Z |> 1)) se il termine "coda pesante" ha un altro significato.

— Peter Westfall,

Inoltre, @Glen_b a quale indice di coda ti riferisci? Ce ne sono infiniti. Gli incroci di coda non definiscono correttamente la "coda". Secondo alcune definizioni di attraversamento della coda della pesantezza della coda, N (0,1) è più "a coda pesante" di .9999 * U (-1,1) + .0001 * U (-1000,1000), sebbene quest'ultima sia ovviamente più pesante coda, nonostante abbia code finite. E, a proposito, quest'ultimo ha una curtosi estremamente elevata, a differenza di N (0,1).

— Peter Westfall,

Non riesco a trovarmi a dire "indice di coda" da nessuna parte nel mio commento; Non sono del tutto sicuro di cosa ti riferisca quando dici "a quale indice di coda ti riferisci". Se intendi la punta della coda pesante, la cosa migliore da fare è controllare cosa dicono effettivamente Kendall e Stuart; Credo che in realtà confrontino il rapporto asintotico di densità per variabili simmetriche standardizzate, ma forse potrebbero essere state funzioni di sopravvivenza; il punto era il loro, non il mio

— Glen_b -Restate Monica

Strano. Bene, in ogni caso, Kendall e Stuart hanno sbagliato. La kurtosi è ovviamente una misura del peso della coda, come dimostrano i miei teoremi.

— Peter Westfall,

5

Molte belle risposte. La soluzione qui proposta ha 2 caratteristiche: (i) che ha una forma funzionale particolarmente semplice, e (ii) che la distribuzione risultante produce necessariamente un pdf a forma di plateau (non solo come un caso speciale). Non sono sicuro che questo abbia già un nome in letteratura, ma assente lo stesso, chiamiamolo una distribuzione Plateau con pdf : $f(x)$

f (x) = k \frac{1}{1 + x^{2 a}} for x \in R

$f(x) = k \frac{1}{1 + x^{2 a}} \quad \quad \text{for } x \in \mathbb{R}$

dove:

il parametro è un numero intero positivo e $a$
$k$ è una costante di integrazione: $k = \frac{a}{\pi} \sin \left(\frac{\pi}{2 a}\right)$

Ecco un grafico del pdf, per diversi valori del parametro : $a$

.

Quando il parametro diventa grande, la densità tende verso una distribuzione Uniforme (-1,1). La seguente trama si confronta anche con una normale (tratteggiata grigia): $a$

— Wolfies
fonte

3

Un altro ( EDIT : l'ho semplificato ora. EDIT2 : l'ho semplificato ulteriormente, anche se ora l'immagine non riflette davvero questa equazione esatta):

f (x) = \frac{1}{3 \cdot α} \cdot \log (\frac{\cosh (α \cdot a) + \cosh (α \cdot x)}{\cosh (α \cdot b) + \cosh (α \cdot x)})

$f(x) = \frac{1}{3 \cdot \alpha} \cdot \log{\left( \frac{\cosh{\left(\alpha \cdot a\right)}+ \cosh{\left(\alpha \cdot x\right)}} {\cosh{\left(\alpha \cdot b\right)}+ \cosh{\left(\alpha \cdot x\right)}} \right)}$

Clunky, lo so, ma qui ho approfittato del fatto che avvicina a una linea quando aumenta. $\log(\cosh(x))$ $x$

Fondamentalmente hai il controllo su quanto è regolare la transizione ( ). Se e vi garantisco che è una densità di probabilità valida (somme a 1). Se scegli altri valori, dovrai rinormalizzarli. $alpha$ $a = 2$ $b = 1$

Ecco un po 'di codice di esempio in R:

f = function(x, a, b, alpha){
  y = log((cosh(2*alpha*pi*a)+cosh(2*alpha*pi*x))/(cosh(2*alpha*pi*b)+cosh(2*alpha*pi*x)))
  y = y/pi/alpha/6
  return(y)
}

fè la nostra distribuzione. Tracciamolo per una sequenza dix

plot(0, type = "n", xlim = c(-5,5), ylim = c(0,0.4))
x = seq(-100,100,length.out = 10001L)

for(i in 1:10){
  y = f(x = x, a = 2, b = 1, alpha = seq(0.1,2, length.out = 10L)[i]); print(paste("integral =", round(sum(0.02*y), 3L)))
  lines(x, y, type = "l", col = rainbow(10, alpha = 0.5)[i], lwd = 4)
}
legend("topright", paste("alpha =", round(seq(0.1,2, length.out = 10L), 3L)), col = rainbow(10), lwd = 4)

Uscita console:

#[1] "integral = 1"
#[1] "integral = 1"
#[1] "integral = 1"
#[1] "integral = 1"
#[1] "integral = 1"
#[1] "integral = 1"
#[1] "integral = 1"
#[1] "integral = NaN" #I suspect underflow, inspecting the plots don't show divergence at all
#[1] "integral = NaN"
#[1] "integral = NaN"

E trama:

Potresti cambiare ae b, rispettivamente, circa l'inizio e la fine della pendenza, ma poi sarebbe necessaria un'ulteriore normalizzazione, e non l'ho calcolata (ecco perché sto usando a = 2e b = 1nella trama).

— Firebug
fonte

2

Se stai cercando qualcosa di molto semplice, con un plateau centrale e i lati di una distribuzione triangolare, puoi ad esempio combinare N distribuzioni triangolari, N a seconda del rapporto desiderato tra il plateau e la discesa. Perché triangoli, perché le loro funzioni di campionamento esistono già nella maggior parte delle lingue. Ordina casualmente da uno di essi.

In R ciò darebbe:

library(triangle)
rplateau = function(n=1){
  replicate(n, switch(sample(1:3, 1), rtriangle(1, 0, 2), rtriangle(1, 1, 3), rtriangle(1, 2, 4)))
}
hist(rplateau(1E5), breaks=200)

— agenis
fonte

2

Eccone una bella: il prodotto di due funzioni logistiche.

(1/B) * 1/(1+exp(A*(x-B))) * 1/(1+exp(-A*(x+B)))

Questo ha il vantaggio di non essere a tratti.

B regola la larghezza e A regola la pendenza della discesa. Di seguito sono mostrati B = 1: 6 con A = 2. Nota: non ho avuto il tempo di capire come normalizzare correttamente questo.

— Adjwilley
fonte