Stima della media e dello sviluppo di una curva gaussiana troncata senza picco

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Supponiamo che io abbia una scatola nera che genera dati seguendo una distribuzione normale con media me deviazione standard s. Supponiamo, tuttavia, che ogni volta che genera un valore <0 non registra nulla (non si può nemmeno dire che sia stato emesso un tale valore). Abbiamo una distribuzione gaussiana troncata senza picco.

Come posso stimare questi parametri?

distributions estimation

Ho cambiato il tag da "troncato-gaussiano" a "troncamento" perché la maggior parte delle risposte sarà potenzialmente utile in situazioni che coinvolgono altre distribuzioni.

— whuber

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Il modello per i tuoi dati sarebbe:

$y_i \sim N(\mu,\sigma^2) I(y_i > 0)$

Pertanto, la funzione di densità è:

f (y_{i} | -) = \frac{e x p (- \frac{(y_{i} - μ)^{2}}{2 σ^{2}})}{\sqrt{2 π σ} (1 - ϕ (- \frac{μ}{σ}))}

$f(y_i|-) = \frac{exp(-\frac{(y_i-\mu)^2}{2 \sigma^2})}{\sqrt{2 \pi \sigma}\ (1 - \phi(-\frac{\mu}{\sigma}))}$

dove,

$\phi(.)$

$\mu$ $\sigma$

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Come ha suggerito Srikant Vadali, Cohen e Hald hanno risolto questo problema usando ML (con un cercatore di radici Newton-Raphson) intorno al 1950. Un altro articolo è "La stima nella distribuzione normale troncata" di Max Halperin disponibile su JSTOR (per quelli con accesso). Googling "stima gaussiana troncata" produce molti successi dall'aspetto utile.

I dettagli sono forniti in un thread che generalizza questa domanda (in generale alle distribuzioni troncate). Vedere Stimatori di massima verosimiglianza per una distribuzione troncata . Potrebbe anche essere di interesse per confrontare i stimatori di massima verosimiglianza alla soluzione massima entropia dato (con codice) a Max Entropia Risolutore in R .

— whuber
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$a=0$ $\mu_t$ $\sigma_t$

$\mu$ $\sigma$

$\mu = \bar{x}= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x_i$

$\sigma = s = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}$
$TB=a=0$ $\bar{x}$

$TB = a$ $\bar{x} \le 3s$
$\omega, P_3(\omega), P_4(\omega)$ $Q(\omega)$

$\omega = \frac{s^2}{(a-\bar{x})^2}$

$P_3(\omega) = 1+5,74050101\omega - 13,53427037\omega^2 + 6,88665552\omega^3$

$P_4(\omega) = -0,00374615 + 0,17462558\omega - 2,87168509\omega^2 + 17,48932655\omega^3 - 11,91716546\omega^4$

$Q(\omega) = \frac{P_4(\omega)}{P_3(\omega)}$
$\omega \le 0,57081$ $\mu_t$ $<0$
$\mu_t$ $\sigma_t$

$\mu_t = \bar{x} + Q(\omega) \cdot (a-\bar{x})$

$\sigma_{t}^{2} = s^2 + Q(\omega) \cdot (a-\bar{x})^2$

È tutto...

— JFS
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