Variazione statistica in due formati di qualificazione di Formula 1

Ho appena letto questo articolo della BBC sul formato di qualificazione in Formula 1.

Gli organizzatori desiderano rendere le previsioni meno prevedibili, ovvero aumentare la variazione statistica del risultato. Riflettendo su alcuni dettagli irrilevanti, al momento i piloti sono classificati in base al loro miglior giro singolo da (per concretezza) due tentativi.

Un capo della F1, Jean Todt, ha proposto che la classifica dei conducenti in media di due giri aumenterebbe la variazione statistica, poiché i conducenti potrebbero avere il doppio delle probabilità di commettere un errore. Altre fonti hanno sostenuto che qualsiasi media ridurrebbe sicuramente la variazione statistica.

Possiamo dire chi ha ragione sotto ipotesi ragionevoli? Suppongo che si riduce alla relativa varianza di rispetto , dove ed sono variabili casuali che rappresentano due tempi sul giro di guida?min ( x , $\text{mean}(x,y)$$\text{min}(x,y)$$x$$y$

Penso che dipenda dalla distribuzione dei tempi sul giro.

Sia indipendente, identicamente distribuito.$X,Y$

1. Se , quindiVar(X+$P(X=0)=P(X=1)=\frac{1}{2}$$Var(\frac{X+Y}{2}) = \frac{1}{8} < Var( \min(X,Y)) = \frac{3}{16}.$
2. Se, tuttavia, , allora V a r ( X + $P(X=0) = 0.9, P(X=100)=0.1$$Var(\frac{X+Y}{2}) = 450 > Var( \min(X,Y)) = 99.$

Ciò è in linea con l'argomento citato nella domanda su come commettere un errore (vale a dire, eseguire un tempo eccezionalmente lungo con una piccola probabilità). Pertanto, dovremmo conoscere la distribuzione dei tempi sul giro per decidere.

Senza perdita di generalità, supponiamo e che entrambi i varaibles siano disegnati dalla stessa distribuzione con una media e una varianza particolari.$y \leq x$

migliora su { x } di,$\{y,x\}$$\{x\}$

caso 1, media: ,$\frac{y-x}{2}$

caso 2, min: .$y-x$

Pertanto, la media ha la metà dell'effetto sul miglioramento (che è guidato dalla varianza) rispetto al prendere il minimo (per 2 prove). Cioè, la media smorza la variabilità.

Ecco la mia prova di Var [Mean]

Per 2 variabili casuali x, y esiste una relazione tra la loro media e max e min.

$$2\,Mean(x,y) = Min(x,y) + Max(x,y)$$ $$4\,Var[Mean] = Var[Min]+Var[Max]+2\,Cov[Min,Max]$$ If we now assume that the distribution is symmetric around the mean then $$Var[Min(x,y)]=Var[Max(x,y)]$$ Poi $$4\,Var[Mean] = 2\,Var[Min] + 2\,Cov[Min,Max]$$ e $$Cov[Min,Max]<=sqrt(Var[Min]Var[Max])=Var[Min]$$ Perciò $$Var[Mean]<=Var[Min]$$ It is also easy to see from this derivation that in order to reverse this inequality you need a distribution with very sharp truncation of the distribution on the negative side of the mean. For example for the exponential distribution the mean has a larger variance than the min.

Nice question, thank you! I agree with @sandris that distribution of lap times matters, but would like to emphasize that causal aspects of the question need to be addressed. My guess is that F1 wants to avoid a boring situation where the same team or driver dominates the sport year after year, and that they especially hope to introduce the (revenue-generating!) excitement of a real possibility that 'hot' new drivers can suddenly arise in the sport.

Cioè, la mia ipotesi è che ci sia qualche speranza di interrompere classifiche eccessivamente stabili di squadre / piloti. (Considera l'analogia con l' innalzamento della temperatura nella ricottura simulata .) Quindi la domanda diventa: quali sono i fattori causali sul lavoro e come vengono distribuiti tra la popolazione di piloti / team in modo da creare un vantaggio persistente per gli attuali operatori storici. (Considera l'analoga questione di imporre tasse di successione elevate per "livellare il campo di gioco" nella società in generale.)

Supponiamo che i team in carica stiano mantenendo l'operatore storico con una strategia conservativa fortemente dipendente dall'esperienza del pilota, che enfatizza una bassa varianza nei tempi sul giro a scapito del tempo sul giro medio. Supponiamo che, al contrario, i team emergenti con (diciamo) i piloti più giovani, adottino necessariamente una strategia più aggressiva (ad alto rischio) con una varianza maggiore, ma che ciò implichi una guida spettacolare che a volte 'colpisce nel modo giusto' e raggiunge un fantastico tempo sul giro. Sottraendosi alle preoccupazioni sulla sicurezza, la F1 vorrebbe chiaramente vedere alcuni di questi "sfavoriti" in gara. In questo scenario causale, sembrerebbe che una politica best-of-n-lap (ampia$n$) contribuirebbe a dare una spinta agli start-up, supponendo che i conducenti esperti siano "disposti a modo loro" e quindi non possano facilmente adattare il loro stile alla nuova politica.

Supponiamo, d'altra parte, che il guasto del motore sia un evento incontrollabile con la stessa probabilità in tutti i team e che le classifiche attuali riflettano correttamente la vera gradazione della qualità del pilota / team in molti altri fattori. In questo caso, la sfortuna di un guasto al motore promette di essere il "fattore di livellamento" solitario che la F1 potrebbe sfruttare per raggiungere una maggiore uguaglianza di opportunità, almeno senza manipolazioni di classifica pesanti che distruggono l'apparenza della "concorrenza". In questo caso, una politica che penalizza pesantemente i guasti del motore (che sono l'unico fattore in questo scenario che non opera relativamente a favore degli operatori storici) promette di promuovere l'instabilità nelle classifiche. In questo caso, la migliore politica di cui sopra sarebbe esattamente la politica sbagliata da perseguire.

Concordo generalmente con altre risposte sul fatto che la media di due corse avrà una varianza inferiore, ma credo che stiano tralasciando aspetti importanti alla base del problema. Molto ha a che fare con il modo in cui i conducenti reagiscono alle regole e alle loro strategie di qualificazione.

Ad esempio, con un solo giro di qualifica, i conducenti sarebbero più prudenti, e quindi più prevedibili e più noiosi da guardare. L'idea con due giri è quella di consentire ai piloti di rischiare uno per provare quel "giro perfetto", con un altro disponibile per una corsa conservativa. Un numero maggiore di corse richiederebbe molto tempo, il che potrebbe anche essere noioso. L'impostazione corrente potrebbe essere solo il "punto debole" per ottenere il massimo dell'azione nel minor tempo possibile.

Si noti inoltre che con un approccio basato sulla media, il conducente deve trovare il tempo sul giro ripetibile più veloce. Con l'avvicinamento minimo, il conducente deve guidare il più velocemente possibile per un solo giro, probabilmente spingendo oltre rispetto all'approccio con la media.

Questa discussione è più vicina alla teoria dei giochi. La tua domanda potrebbe ottenere risposte migliori se inquadrata in quella luce. Quindi si potrebbero proporre altre tecniche, come l'opzione per un pilota di far cadere il primo tempo sul giro a favore di una seconda corsa, e possibilmente un tempo più veloce o più lento. Eccetera.

Si noti inoltre che quest'anno è stato tentato un cambiamento nelle qualifiche che ha generalmente spinto i piloti in un giro conservativo. https://en.wikipedia.org/wiki/2016_Formula_One_season#Qualifying Il risultato è stato visto come un disastro e rapidamente cancellato.