Esiste una formula per il calcolo della mediana?

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Esiste un equivalente della formula media:

m e a n = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} X_{i}

$\begin{equation} \mathrm{mean} = \cfrac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} X_i \end{equation}$

per mediana?

median definition

— brama
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Se si definisce come versione ordinata dei dati originali , la mediana viene definita come: $O_1, O_2, \ldots, O_N$ $X_1, X_2, \ldots, X_N$

M e d i a n ({O_{1}, O_{2}, \dots, O_{N}}) = {\begin{cases} O_{(N + 1) / 2} & i f N i s o d d \\ (O_{N / 2} + O_{N / 2 + 1}) / 2 & o t h e r w i s e \end{cases}

$\mathrm{Median}(\{O_1, O_2, \ldots, O_N\}) = \left\{\begin{array}{ll} O_{(N+1)/2} & \mathrm{if}~N~\mathrm{is~odd} \\ (O_{N/2}+O_{N/2+1})/2 & \mathrm{otherwise}\end{array}\right.$

Senza ordinare i tuoi dati, puoi utilizzare la definizione della mediana geometrica per definire la mediana in una dimensione:

M e d i a n ({X_{1}, X_{2}, \dots, X_{N}}) = \arg min_{y} \sum_{i = 1}^{N} | X_{i} - y |

$\mathrm{Median}(\{X_1, X_2, \ldots, X_N\}) = \arg\min_{y} \sum_{i=1}^N \big|X_i-y\big|$

Si noti che ciò non definisce necessariamente una mediana unica in presenza di un numero pari di punti; ad esempio qualsiasi numero ottimizza l'obiettivo con . $y\in[3, 4]$ $X = \{2, 3, 4, 5\}$

— josliber
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Anche il modulo per non è l'unica risposta, ma solo una convenzione utilizzata. Qualsiasi valore compreso tra e potrebbe ragionevolmente essere chiamato "mediana"

N

$N$

O_{N / 2}

$O_{N/2}$

O_{N / 2 + 1}

$O_{N/2+1}$

— probabilitlogico

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@probabilityislogic Di sicuro. Ho aggiunto la definizione geometrica mediana, che non è necessariamente unica per neanche.

N

$N$

— josliber,

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Un modo alternativo per esprimere la media è la stima dei "minimi quadrati":

\sum_{i = 1}^{N} (X_{i} - m)^{2}

$\sum_{i=1}^N (X_i - m)^2$

Scegliendo come media si ottiene il valore più piccolo della somma degli errori al quadrato. $m$

Ora la mediana può essere espressa come la stima "deviazioni meno assolute":

\sum_{i = 1}^{N} | X_{i} - m |

$\sum_{i=1}^N |X_i - m|$

Scegliendo come mediana si ottiene il valore più piccolo della somma degli errori assoluti. $m$

— probabilityislogic
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La mediana è il valore corrispondente al mezzo quantile, ovvero la metà dei valori sono più alti, la metà sono più bassi (scusatemi per aver ignorato i casi con uguaglianza o quando l'insieme è pari ...). Tale che, dato che il pdf del set di dati è noto, la distribuzione cumulativa viene facilmente valutata. Notando questa funzione, quindi $p_X$ $X_1 \cdot X_n$ $P_X$

m e d i a n = P_{X}^{- 1} (\frac{1}{2})

$median = P_X^{-1}(\frac 1 2)$

Prendiamo ad esempio il caso degli angoli in questo metodo usato in questo documento di revisione per l'equalizzazione dell'istogramma. Il pannello in basso a sinistra mostra il pdf degli angoli in una serie di immagini naturali. è la distribuzione cumulativa e la mediana è il valore di corrispondente al valore , che è approssimativamente in quel caso. $p(\theta)$ $P(\theta)$ $\theta$ $1/2$ $0$

— meduz
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