Relazione tra poisson e distribuzione esponenziale

I tempi di attesa per la distribuzione di Poisson è una distribuzione esponenziale con parametro lambda. Ma non lo capisco. Ad esempio, Poisson modella il numero di arrivi per unità di tempo. In che modo ciò è legato alla distribuzione esponenziale? Diciamo che la probabilità di k arrivi in ​​un'unità di tempo è P (k) (modellato da Poisson) e la probabilità di k + 1 è P (k + 1), in che modo la distribuzione esponenziale modella il tempo di attesa tra di loro?

Userò la seguente notazione per essere il più coerente possibile con il wiki (nel caso tu voglia andare avanti e indietro tra la mia risposta e le definizioni del wiki per il poisson e l' esponente ).

$N_t$ : il numero di arrivi durante il periodo$t$

$X_t$ : il tempo impiegato per un ulteriore arrivo per arrivare supponendo che qualcuno sia arrivato al momento$t$

Per definizione, le seguenti condizioni sono equivalenti:

$(X_t > x) \equiv (N_t = N_{t+x})$

L'evento a sinistra cattura l'evento che nessuno è arrivato nell'intervallo di tempo che implica che il nostro conteggio del numero di arrivi al momento è identico al conteggio al momento che è il evento a destra.t + x $[t,t+x]$$t+x$$t$

Secondo la regola del complemento, abbiamo anche:

$P(X_t \le x) = 1 - P(X_t > x)$

Usando l'equivalenza dei due eventi che abbiamo descritto sopra, possiamo riscrivere quanto sopra come:

$P(X_t \le x) = 1 - P(N_{t+x} - N_t = 0)$

Ma,

$P(N_{t+x} - N_t = 0) = P(N_x = 0)$

Usando il poisson pmf quanto sopra dove è il numero medio di arrivi per unità di tempo e una quantità di unità di tempo, semplifica:$\lambda$$x$

$P(N_{t+x} - N_t = 0) = \frac{(\lambda x)^0}{0!}e^{-\lambda x}$

vale a dire

$P(N_{t+x} - N_t = 0) = e^{-\lambda x}$

Sostituendo nella nostra eqn originale, abbiamo:

$P(X_t \le x) = 1 - e^{-\lambda x}$

Quanto sopra è il cdf di un pdf esponenziale.

Per un processo di Poisson, gli hit si verificano a caso indipendentemente dal passato, ma con un tasso medio noto a lungo termine di hit per unità di tempo. La distribuzione di Poisson ci permetterebbe di trovare la probabilità di ottenere un determinato numero di hit.$\lambda$

Ora, invece di guardare il numero di hit, guardiamo la variabile casuale (per Lifetime), il tempo che devi aspettare per il primo hit.$L$

La probabilità che il tempo di attesa sia superiore a un determinato valore di tempo è (dalla distribuzione di Poisson, dove ).$P(L \gt t) = P(\text{no hits in time t})=\frac{\Lambda^0e^{-\Lambda}}{0!}=e^{-\lambda t}$$\Lambda = \lambda t$

$P(L \le t) = 1 - e^{-\lambda t}$ (la funzione di distribuzione cumulativa). Possiamo ottenere la funzione di densità prendendo la derivata di questo:

Si dice che ogni variabile casuale che ha una funzione di densità come questa sia distribuita esponenzialmente.

Le altre risposte fanno un buon lavoro nello spiegare la matematica. Penso che aiuti a considerare un esempio fisico. Quando penso a un processo di Poisson, torno sempre all'idea di automobili che passano su una strada. Lambda è il numero medio di auto che passano per unità di tempo, diciamo 60 / ora (lambda = 60). Sappiamo, tuttavia, che il numero effettivo varierà - alcuni giorni in più, alcuni giorni in meno. La distribuzione di Poisson ci consente di modellare questa variabilità.

Ora, una media di 60 auto all'ora equivale a una media di 1 auto che passa ogni minuto. Ancora una volta, sappiamo che ci sarà una variabilità nella quantità di tempo tra gli arrivi: a volte più di 1 minuto; altre volte meno. La distribuzione esponenziale ci consente di modellare questa variabilità.

Detto questo, le auto che passano su una strada non seguiranno sempre un processo di Poisson. Se c'è un segnale stradale proprio dietro l'angolo, ad esempio, gli arrivi saranno raggruppati anziché fissi. Su un'autostrada aperta, un trattore-rimorchio lento può sostenere una lunga fila di automobili, causando di nuovo il raggruppamento. In questi casi, la distribuzione di Poisson potrebbe continuare a funzionare correttamente per periodi di tempo più lunghi, ma l'esponenziale fallirà male nel modellare i tempi di arrivo.

Si noti inoltre che esiste un'enorme variabilità in base all'ora del giorno: più occupato durante i tempi di pendolarismo; molto più lento alle 3 del mattino. Assicurati che il tuo lambda rifletta il periodo di tempo specifico che stai considerando.

La distribuzione di Poisson è normalmente derivata dalla distribuzione binomiale (entrambe discrete). Questo lo troverai su Wiki.

Tuttavia, la distribuzione di Poisson (discreta) può anche essere derivata dalla distribuzione esponenziale (continua).

Ho aggiunto la prova a Wiki (link sotto):

https://en.wikipedia.org/wiki/Talk:Poisson_distribution/Archive_1#Derivation_of_the_Poisson_Distribution_from_the_Exponential_Distribution