Funzione generatrice di momenti

Questa domanda sorge da quella qui posta riguardo alle funzioni legate alla generazione del momento (MGF).

Supponiamo che sia una variabile casuale a media zero limitata che assume valori in e che sia il suo MGF. Da un limite usato in una prova della disuguaglianza di Hoeffding , abbiamo che dove il lato destro è riconoscibile come MGF di una variabile casuale normale a media zero con deviazione standard . Ora, la deviazione standard di può essere maggiore di , con il valore massimo che si verifica quando è una variabile casuale discreta tale che $X$ $[-\sigma, \sigma]$ $G(t) = E[e^{tX}]$

G (t) = E [e^{t X}] \leq e^{σ^{2} t^{2} / 2}

$G(t) = E[e^{tX}] \leq e^{\sigma^2t^2/2}$

σ

$\sigma$

X

$X$

σ

$\sigma$

X

$X$

P {X = σ} = P {X = - σ} = \frac{1}{2}

$P\{X = \sigma\} = P\{X = -\sigma\} = \frac{1}{2}$ . Quindi, il limite a cui si fa riferimento può essere considerato come il dire che l'MGF di una variabile casuale a media zero è delimitata sopra dall'MGF di una variabile casuale normale a media zero la cui deviazione standard è uguale alla deviazione standard massima possibile che può avere.

X

$X$

X

$X$

La mia domanda è: si tratta di un noto risultato di interesse indipendente che viene utilizzato in luoghi diversi dalla dimostrazione della disuguaglianza di Hoeffding e, in tal caso, è noto che si estende anche a variabili casuali con mezzi diversi da zero?

Il risultato che pone questa domanda consente un intervallo asimmetrico per con ma insiste su . Il limite è dove è la massima deviazione standard possibile per una variabile casuale con valori limitati a , ma questo massimo non è raggiunto da variabili casuali a media zero a meno che . $[a,b]$ $X$ $a < 0 < b$ $E[X] = 0$

G (t) \leq e^{t^{2} (b - a)^{2} / 8} = e^{t^{2} σ_{m a x}^{2} / 2}

$G(t) \leq e^{t^2(b-a)^2/8} = e^{t^2\sigma_{max}^2/2}$

σ_{max} = (b - a) / 2

$\sigma_{\max} = (b-a)/2$

[a, b]

$[a,b]$

b = - a

$b = -a$

probability probability-inequalities mgf

— Dilip Sarwate
fonte

Le variabili casuali che soddisfano i limiti del mgf come quello che citi sono chiamate variabili aleatorie subgaussiane . Esse svolgono un ruolo centrale, ad esempio, nella teoria della matrice casuale non asintotica e alcuni risultati associati nel rilevamento compresso. Vedi, ad esempio, il link nella risposta qui . (Questo ovviamente non parla alla tua domanda particolare; ma è di natura correlata.)

— cardinale

Non posso rispondere alla prima parte della tua domanda, ma per quanto riguarda l'estensione a variabili casuali con valori diversi da zero significa ...

Innanzitutto, nota che qualsiasi rv con intervallo finito e (necessariamente finito) significa può essere trasformato in un rv che, ovviamente, è zero media con intervallo (soddisfacendo così le condizioni nell'affermazione del problema). La variabile trasformata ha mgf (per proprietà di base di mgf) Moltiplicando entrambe le parti per e applicando il la disuguaglianza dà: $Z$ $[a+\mu,b+\mu]$ $\mu$ $X = Z-\mu$ $[a,b]$ $\phi_X(t) = \exp\{-\mu t\}\phi_Z(t)$ $\exp\{\mu t\}$

$\phi_Z(t) = \exp\{\mu t\}\phi_X(t) \leq \exp\{\mu t\}\exp\{t^2\sigma^2_\text{max}/2\} = \exp\{\mu t + t^2\sigma^2_\text{max}/2\}$

Non sorprende che il mgf di una variabile casuale normale con la stessa media e deviazione standard sia uguale a . $\sigma_\text{max}$

— jbowman
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