Dovrei usare un cdf binomiale o un normale cdf quando si lanciano monete?

11

Una moneta deve essere testata per correttezza. 30 teste escono dopo 50 lanci. Supponendo che la moneta sia giusta, qual è la probabilità che tu ottenga almeno 30 teste in 50 lanci?

Il modo giusto di fare questo problema, secondo il mio insegnante, è farlo

normalcdf(min = .6, max = ∞, p = .5, σ = sqrt(.5 * .5 / 50) = 0.0786

Tuttavia, ho preso una funzione di distribuzione cumulativa binomiale come questa

1 - binomcdf(n = 50, p = .5, x = 29) = 0.1013

Credo che i criteri per una distribuzione binomiale siano soddisfatti: i singoli eventi sono indipendenti, ci sono solo due possibili esiti (testa contro croce), la probabilità è costante per la domanda (0,5) e il numero di prove è fissato a 50 Ovviamente, i due metodi danno risposte diverse e una simulazione supporta la mia risposta (almeno le poche volte che l'ho eseguita; ovviamente, non posso garantire che otterrai gli stessi risultati).

Il mio insegnante ha torto nel ritenere che una curva di distribuzione normale sarebbe anche un modo valido per risolvere questo problema (in nessun caso si dice che la distribuzione sia normale, ma n * p e n * (1-p) sono entrambi maggiori di 10) o ho frainteso qualcosa sulle distribuzioni binomiali?

self-study normal-distribution binomial

— waiwai933
fonte

5

Una persona con esperienza nell'uso di approssimazioni normali al binomio procederebbe in modo leggermente diverso: applicherebbe la (consueta) correzione della continuità , come in 1 - pnorm((30-0.5)/50, mean=0.5, sd=sqrt(0.5*(1-0.5)/50))(questa è un'espressione R), il cui valore è 0.1015, in stretto accordo con il binomio cdf .

— whuber

10

Ecco un'illustrazione delle risposte di whuber e onestop.

correzione di continuità

In rosso la distribuzione binomiale , in nero la densità dell'approssimazione normale e in blu la superficie corrispondente a per . $\mathcal Bin(50,0.5)$ $\mathcal N(25, 12.5)$ $\mathbb P(Y > 29.5)$ $Y \sim \mathcal N(25, 12.5)$

L'altezza di una barra rossa corrispondente a per è ben approssimata da . Per ottenere una buona approssimazione di , devi usare . $\mathbb P(X=k)$ $X\sim\mathcal Bin(50,0.5)$ $\mathbb P\left( k -{1\over 2} < Y < k + {1\over 2}\right)$ $\mathbb P(X \ge 30)$ $\mathbb P(Y>29.5)$

(modifica) Questo è (ottenuto in R da ) mentre l'approssimazione è corretta.

P (Y > 29.5) ≃ 0.1015459,

$\mathbb P(Y>29.5) \simeq 0.1015459,$ 1-pnorm(29.5,25,sqrt(12.5))

P (X \geq 30) ≃ 0.1013194 :

$\mathbb P(X \ge 30) \simeq 0.1013194:$

Questo si chiama correzione della continuità . Ti permette di calcolare anche "probabilità punti" come : $\mathbb P(X=22)$

\begin{aligned} P (X = 22) & = (\binom{50}{22}) {0.5}^{22} \cdot {0.5}^{28} ≃ 0.07882567, \\ P (21.5 < Y < 22.5) & ≃ 0.2397501 - 0.1610994 ≃ 0.07865066. \end{aligned}

$\begin{align*} \mathbb P(X=22) &= {50 \choose 22} 0.5^{22} \cdot 0.5^{28} \simeq 0.07882567, \\ \mathbb P(21.5 < Y < 22.5) & \simeq 0.2397501 - 0.1610994 \simeq 0.07865066.\end{align*}$

— Elvis
fonte

4

La distribuzione normale fornisce un'approssimazione più vicina al binomio se si utilizza una correzione di continuità . Usando questo per il tuo esempio, ottengo 0.1015. Dato che si tratta di compiti a casa, ti lascerò a te per compilare i dettagli.

— una fermata
fonte

4

Considera questo. Nella distribuzione binomiale discreta hai effettive probabilità per i singoli numeri. Nella normale continua che non è il caso, è necessario un intervallo di valori. Quindi ... se avessi approssimato la probabilità di un singolo valore, diciamo X, dal binomio con il normale come lo faresti? Guarda un istogramma di probabilità della distribuzione binomiale con la curva normale adagiata su di essa. Dovresti effettivamente selezionare tra X ± 0,5 per catturare qualcosa di simile a quello che è la probabilità binomiale di X con l'approssimazione normale.

Ora estendilo a quando stai selezionando una coda della distribuzione. Quando usi il metodo binomiale stai selezionando la probabilità dell'intero valore (30 nel tuo caso) più tutto più alto. Pertanto, quando si esegue il continuo, è necessario assicurarsi di catturarlo e selezionare anche 0,5 in meno, quindi il limite sulla distribuzione continua è 29,5.

— John
fonte

3

In realtà, la domanda mostra una comprensione approfondita del problema e non sembra essere in cerca di una risposta a una domanda di compiti di routine. Anche se ha i compiti taggati , considera di fare un'eccezione qui. In particolare, una buona discussione sull'uso della distribuzione Normale per approssimare distribuzioni discrete (come Binomiali e Poisson con grandi N) sarebbe appropriata e benvenuta qui.

— whuber