wt=α+b1age+b2gender+b3age∗gender+ϵ
∂wt∂gender=b2+b3age
gender=0age=0gender=1age=1gender=0age=1gender=1age=0
wt=α+b1young.male+b2old.male+b3young.female+ϵ
old.femaleb1old.femaleyoung.maleαwtold.female
…
Gli esempi precedenti sono quindi un modo eccessivamente complicato per giungere a questa conclusione (che stiamo davvero confrontando quattro mezzi di gruppo), ma per sapere come funzionano le interazioni, penso che questo sia un esercizio utile. Ci sono altri post molto buoni su CV sull'interazione di una variabile continua con una variabile nominale o sull'interazione di due variabili continue. Anche se la tua domanda è stata modificata per specificare test non parametrici, penso che sia utile riflettere sul tuo problema da un approccio più convenzionale (cioè, parametrico), perché la maggior parte degli approcci non parametrici al test di ipotesi hanno la stessa logica ma generalmente con meno ipotesi su distribuzioni specifiche.
wt
old.menyoung.women
A parte le interazioni "significative"
x1x2x1x2Ma ancora una volta, se abbiamo solo due covariate che possono assumere solo valori di 0 o 1, ciò significa che essenzialmente stiamo guardando quattro medie di gruppo.
Esempio lavorato
Confrontiamo i risultati del modello di interazione con i risultati del test di Dunn. Innanzitutto, generiamo alcuni dati in cui (a) gli uomini pesano più delle donne, (b) gli uomini più giovani pesano meno degli uomini più anziani, e (c) non c'è differenza tra le donne più giovani e quelle più anziane.
set.seed(405)
old.men<-rnorm(50,mean=80,sd=15)
young.men<-rnorm(50,mean=70,sd=15)
young.women<-rnorm(50,mean=60,sd=15)
old.women<-rnorm(50,mean=60,sd=15)
cat<-rep(1:4, c(50,50,50,50))
gender<-rep(1:2, c(100,100))
age<-c(rep(1,50),rep(2,100),rep(1,50))
wt<-c(old.men,young.men,young.women,old.women)
data<-data.frame(cbind(wt,cat,age,gender))
data$cat<-factor(data$cat,labels=c("old.men","young.men","young.women","old.women"))
data$age<-factor(data$age,labels=c("old","young"))
data$gender<-factor(data$gender,labels=c("male","female"))
wt
mod<-lm(wt~age*gender,data)
library(effects)
allEffects(mod)
model: wt ~ age * gender
age*gender effect
gender
age male female
old 80.61897 57.70635
young 67.78351 56.01228
Devi calcolare un errore standard o un intervallo di confidenza per il tuo effetto marginale? Il pacchetto "effetti" sopra citato può fare questo per te, ma meglio ancora, Aiken e West (1991) ti offrono le formule, anche per modelli di interazione molto più complicati. I loro tavoli sono comodamente stampati qui , insieme a un ottimo commento di Matt Golder.
Ora per implementare il test di Dunn.
#install.packages("dunn.test")
dunn.test(data$wt, data$cat, method="bh")
Kruskal-Wallis chi-squared = 65.9549, df = 3, p-value = 0
Comparison of x by group
(Benjamini-Hochberg)
Col Mean-|
Row Mean | old.men young.me young.wo
---------+---------------------------------
young.me | 3.662802
| 0.0002*
|
young.wo | 7.185657 3.522855
| 0.0000* 0.0003*
|
old.wome | 6.705346 3.042544 -0.480310
| 0.0000* 0.0014* 0.3155
Il valore p sul risultato del test chi quadrato di Kruskal-Wallis suggerisce che almeno uno dei nostri gruppi "proviene da una popolazione diversa". Per i confronti gruppo per gruppo, il numero in alto è la statistica del test z di Dunn e il numero in basso è un valore p, che è stato adattato per confronti multipli. Poiché i nostri dati di esempio erano piuttosto artificiali, non sorprende che abbiamo così tanti piccoli valori p. Ma nota il confronto in basso a destra tra donne più giovani e più anziane. Il test supporta correttamente l'ipotesi nulla che non vi sia alcuna differenza tra questi due gruppi.
…
AGGIORNAMENTO: date altre risposte, questa risposta è stata aggiornata per contestare l'idea che ciò richiede qualsiasi forma di modellazione non lineare o che - dato l'esempio specifico di OP di due covariate binarie, ovvero quattro gruppi - che ci debba essere un sign change to asess this non parametricamente. Se l'età fosse continua, ad esempio, ci sarebbero altri modi per affrontare questo problema, ma questo non era l'esempio fornito dall'OP.