La somma di un gran numero di variabili casuali indipendenti di Cauchy è normale?

Secondo il Teorema del limite centrale, la funzione di densità di probabilità della somma di una grande variabile casuale indipendente tende a una Normale. Quindi possiamo dire che la somma di un gran numero di variabili casuali di Cauchy indipendenti è anche normale?

random-variable central-limit-theorem cauchy

— urwaCFC
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Quali sono gli ipertiti della versione del Teorema del limite centrale che hai imparato?

— Brian Borchers,

No.

Manca uno dei presupposti centrali del teorema del limite centrale:

... variabili casuali con varianze finite ...

La distribuzione di Cauchy non ha una varianza finita.

La distribuzione di Cauchy è un esempio di distribuzione che non ha una media, una varianza o momenti superiori definiti.

Infatti

Se sono variabili casuali indipendenti e distribuite in modo identico, ognuna con una distribuzione standard di Cauchy, la media di esempio ha la stessa distribuzione standard di Cauchy. $X_1, \ldots, X_n$ $\frac{X_1 + \cdots + X_n}{n}$

Quindi la situazione nella tua domanda è abbastanza chiara, continui a recuperare la stessa distribuzione di Cauchy.

Questo è il concetto di una distribuzione stabile, giusto?

Sì. Una distribuzione (rigorosamente) stabile (o variabile casuale) è una per la quale qualsiasi combinazione lineare di due copie iid è distribuita proporzionalmente alla distribuzione originale. La distribuzione di Cauchy è davvero rigorosamente stazionaria. $a X_1 + b X_2$

(*) Citazioni da Wikipedia.

— Matthew Drury
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Wow. Dovrei andare a ripassare il mio concetto CLT. Grazie mille per la risposta.

— urwaCFC,

Il cauchy è davvero un buon esempio in questo spazio. C'è abbastanza massa nelle code che la media non la spinge verso la media, ma non abbastanza che gli outlier causino l'accumulo di massa nelle code. È proprio sul confine in cui il CLT fallisce.

— Matthew Drury,

"È proprio al limite in cui il CLT fallisce." Non del tutto - una distribuzione con 2 gradi di libertà avrebbe finito, ma infinito, mentre il Cauchy non ha nessuno dei due. Per il Cauchy, la legge dei grandi numeri non si applica nemmeno!

t

$t$

E (| X |)

$E(|X|)$

E (X^{2})

$E(X^2)$

— Andrew M,

Ohhh, interessante! Immagino di essermi davvero sfuggito qualche sfumatura lì.

— Matthew Drury,

Se ricordo bene c'è in realtà un teorema limite corrispondente per t2 e Cauchy. Se ricordo correttamente una scelta appropriata di standardizzazione in funzione di di di t2 converge alla normalità - molto lentamente - mentre per il Cauchy abbiamo che i mezzi di campionamento sono gli stessi Cauchy con cui abbiamo iniziato.

n

$n$

\bar{X} - μ

$\bar{X}-\mu$

— Glen_b