Stima del bias del momento della distribuzione lognormale

Sto facendo qualche esperimento numerico che consiste nel campionare una distribuzione lognormale e provo a stimare i momenti con due metodi:$X\sim\mathcal{LN}(\mu, \sigma)$$\mathbb{E}[X^n]$

1. Guardando la media campionaria di$X^n$
2. Stimare e usando i mezzi di esempio per , e quindi usando il fatto che per una distribuzione lognormale, abbiamo .$\mu$$\sigma^2$$\log(X), \log^2(X)$$\mathbb{E}[X^n]=\exp(n \mu + (n \sigma)^2/2)$

La domanda è :

Trovo sperimentalmente che il secondo metodo funziona molto meglio del primo, quando tengo fisso il numero di campioni e aumento di qualche fattore T. C'è qualche semplice spiegazione per questo fatto?$\mu, \sigma^2$

Allego una figura in cui l'asse x è T, mentre l'asse y sono i valori di confrontando i valori reali di (linea arancione), ai valori stimati. metodo 1 - punti blu, metodo 2 - punti verdi. l'asse y è in scala logaritmicaE [ X 2 ] = exp ( 2 μ + 2 σ 2$\mathbb{E}[X^2]$$\mathbb{E}[X^2] = \exp(2 \mu + 2 \sigma^2)$

MODIFICARE:

Di seguito è riportato un codice Mathematica minimo per produrre i risultati per una T, con l'output:

   ClearAll[n,numIterations,sigma,mu,totalTime,data,rmomentFromMuSigma,rmomentSample,rmomentSample]
(* Define variables *)
n=2; numIterations = 10^4; sigma = 0.5; mu=0.1; totalTime = 200;
(* Create log normal data*)
data=RandomVariate[LogNormalDistribution[mu*totalTime,sigma*Sqrt[totalTime]],numIterations];

(* the moment by theory:*)
rmomentTheory = Exp[(n*mu+(n*sigma)^2/2)*totalTime];

(*Calculate directly: *)
rmomentSample = Mean[data^n];

(*Calculate through estimated mu and sigma *)
muNumerical = Mean[Log[data]]; (*numerical \[Mu] (gaussian mean) *)
sigmaSqrNumerical = Mean[Log[data]^2]-(muNumerical)^2; (* numerical gaussian variance *)
rmomentFromMuSigma = Exp[ muNumerical*n + (n ^2sigmaSqrNumerical)/2];

(*output*)
Log@{rmomentTheory, rmomentSample,rmomentFromMuSigma}

Produzione:

(*Log of {analytic, sample mean of r^2, using mu and sigma} *)
{140., 91.8953, 137.519}

sopra, il secondo risultato è la media campionaria di , che è al di sotto degli altri due risultati$r^2$

C'è qualcosa di sconcertante in quei risultati da allora

1. il primo metodo fornisce uno stimatore imparziale di , vale a dire$\mathbb{E}[X^2]$ $$\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N X_i^2$$ ha come media. Quindi i punti blu dovrebbero essere intorno al valore atteso (curva arancione);$\mathbb{E}[X^2]$
2. il secondo metodo fornisce uno stimatore distorto di , cioè E [ exp ( n μ + n 2 σ 2 / 2 ) ] > exp ( n μ + ( n σ ) 2 / 2 ) quando μ e σ ² sono stimatori di μ e$\mathbb{E}[X^2]$ $$\mathbb{E}[\exp(n \hat\mu + n^2 \hat{\sigma}^2/2)]>\exp(n \mu + (n \sigma)^2/2)$$ $\hat\mu$$\hat\sigma²$$\mu$$\sigma²$ rispettivamente, ed è quindi strano che i punti verdi siano allineati con la curva arancione.

ma sono dovuti al problema e non ai calcoli numerici: ho ripetuto l'esperimento in R e ho ottenuto la seguente immagine con lo stesso codice colore e la stessa sequenza di e σ T , che rappresenta ogni stimatore diviso dalla vera aspettativa:$\mu_T$$\sigma_T$

Ecco il codice R corrispondente:

moy1=moy2=rep(0,200)
mus=0.14*(1:200)
sigs=sqrt(0.13*(1:200))
tru=exp(2*mus+2*sigs^2)
for (t in 1:200){
x=rnorm(1e5)
moy1[t]=mean(exp(2*sigs[t]*x+2*mus[t]))
moy2[t]=exp(2*mean(sigs[t]*x+mus[t])+2*var(sigs[t]*x+mus[t]))}

plot(moy1/tru,col="blue",ylab="relative mean",xlab="T",cex=.4,pch=19)
abline(h=1,col="orange")
lines((moy2/tru),col="green",cex=.4,pch=19)

Quindi c'è davvero un collasso del secondo momento empirico all'aumentare di e σ che attribuirei all'enorme aumento della varianza di detto secondo momento empirico all'aumentare di μ e σ .$\mu$$\sigma$$\mu$$\sigma$

$\mathbb{E}[X^2]$$X^2$$X^2$$e^{2\mu}$$X^2$$\exp\{2\mu+2\sigma\epsilon\}$$\epsilon\sim\mathcal{N}(0,1)$$\sigma$$\sigma\epsilon$$\sigma^2$$X$$\mathcal{LN}(\mu,\sigma)$

$$\begin{align*}\mathbb{P}(X^2>\mathbb{E}[X^2])&=\mathbb{P}(\log\{X^2\}>2\mu+2\sigma^2)\\&=\mathbb{P}(\mu+\sigma\epsilon>\mu+\sigma^2)\\&=\mathbb{P}(\epsilon>\sigma)\\ &=1-\Phi(\sigma)\end{align*}$$

Ho pensato di vomitare alcuni fichi che mostravano che le trame di user29918 e Xi'an sono coerenti. La Figura 1 mostra ciò che ha fatto user29918 e la Figura 2 (basata sugli stessi dati), fa ciò che Xi'an ha fatto per la sua trama. Stesso risultato, presentazione diversa.

$\frac{1}{n} \sum_i x_i^2$ diventa come cercare di stimare la media della popolazione del Powerball Lotto con l'acquisto di biglietti del Lotto! Una grande percentuale del tempo, sottovaluterai il payoff (perché nessuna osservazione campione colpisce il jackpot) e una piccola percentuale del tempo, sopravvaluterai massicciamente il payoff (perché c'è un vincitore del jackpot nel campione). La media del campione è una stima imparziale ma non si prevede che sia precisa, anche con migliaia e migliaia di pareggi! In effetti, man mano che diventa sempre più difficile vincere il lotto, la media del tuo campione sarà inferiore alla popolazione e la maggior parte delle volte.

Ulteriori commenti:

1. Uno stimatore imparziale no significa che lo stimatore dovrebbe essere vicino! I punti blu non devono necessariamente essere vicini alle aspettative. Per esempio. una singola osservazione scelta a caso fornisce una stima imparziale della media della popolazione, ma non ci si aspetterebbe che lo stimatore sia vicino.
2. Il problema sta sorgendo mentre la varianza sta diventando assolutamente astronomica. Mentre la varianza va a gonfie vele, la stima per il primo metodo è guidata solo da alcune osservazioni. Inizi anche ad avere una piccola, minuscola probabilità di un grande numero INSANELY, INSANELY, INSANELY ...
3. $P(X^2 > E[X^2]) = 1 - \Phi(\sigma)$$\sigma$$X^2 > E[X^2]$