Valore atteso del rapporto massimo di n le variabili normali


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Supponiamo sono IID da e lasciare denota l' i 'esimo elemento più piccolo da X_1, ..., X_n . Come si sarebbe in grado di superare il massimo previsto del rapporto tra due elementi consecutivi in X _ {(i)} ? Cioè, come è possibile calcolare un limite superiore su: N ( μ , σ 2 ) X ( i ) i X 1 , . . . , X n X ( i )X1,...,XnN(μ,σ2)X(i)iX1,...,XnX(i)

E[maxi=1,...,n1(X(i+1)X(i))]

La letteratura che sono stato in grado di trovare si concentra principalmente sul rapporto tra due variabili casuali che si traduce in una distribuzione del rapporto per la quale è disponibile qui il pdf per due distribuzioni normali non correlate: https://en.wikipedia.org/wiki/ Ratio_distribution # Gaussian_ratio_distribution . Mentre ciò mi consentirebbe di mettere in relazione il rapporto medio previsto di n variabili, non riesco a vedere come generalizzare questo concetto per trovare il rapporto massimo previsto di n variabili.


Come notato da Whuber di seguito, l'aspettativa del rapporto tra due statistiche consecutive dell'ordine non converge. Ma se lo ha fatto, o se sei interessato alla loro differenza, dì
E[maxi=1,...,n1(X(i+1)X(i))]
... il problema dovrebbe in effetti semplificare la ricerca del rapporto (o differenza, a seconda dei casi) delle due statistiche di ordine PIÙ GRANDI, ovvero
E[X(n)X(n1)]
... proprio dalla forma delle code normali.
Lupi,

Risposte:


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L'attesa non è definita.

Lascia che sia identificato secondo qualsiasi distribuzione con la seguente proprietà: esiste un numero positivo un positivo tale cheXih ϵFhϵ

(1)F(x)F(0)hx

per tutti . Questa proprietà è vera per qualsiasi distribuzione continua, come una distribuzione normale, la cui densità è continua e diversa da zero a , per poi , che ci consente di prende per qualsiasi valore fisso compreso tra e .f 0 F ( x ) - F ( 0 ) = f ( 0 ) x + o ( x ) h 0 f ( 0 )0<x<ϵf0F(x)F(0)=f(0)x+o(x)h0f(0)

Per semplificare l'analisi, assumerò anche e , entrambi veri per tutte le distribuzioni normali. (Quest'ultimo può essere assicurato riscalando se necessario. Il primo viene utilizzato solo per consentire una semplice sottovalutazione di una probabilità.)1 - F ( 1 ) > 0 FF(0)>01F(1)>0F

Lasciatelo e sopravvalutiamo la funzione di sopravvivenza del rapporto comet>1

Pr(X(i+1)X(i)>t)=Pr(X(i+1)>tX(i))>Pr(X(i+1)>1, X(i)1/t)>Pr(X(i+1)>1, 1/tX(i)>0, 0X(i1)).

Quest'ultima probabilità è la possibilità che esattamente di superi , esattamente uno risiede nell'intervallo e i restanti (se presenti) non sono positivi. In termini di tale possibilità è data dall'espressione multinomialeX j 1 ( 0 , 1 / t ] i - 1 FniXj1(0,1/t]i1F

(nni,1,i1)(1F(1))ni(F(1/t)F(0))F(0)i1.

Quando , la disuguaglianza fornisce un limite inferiore per questo che è proporzionale a , mostrando che( 1 ) 1 / tt>1/ϵ(1)1/t

La funzione di sopravvivenza di , ha una coda che si comporta asintoticamente come : cioè, per un numero positivo .X ( i + 1 ) / X ( i ) 1 / t S ( t ) = a / t + o ( 1 / t ) aS(t)X(i+1)/X(i)1/tS(t)=a/t+o(1/t)a

Per definizione, l'aspettativa di qualsiasi variabile casuale è l'aspettativa della sua parte positiva più l'aspettativa della sua parte negativa . Poiché la parte positiva dell'aspettativa - se esiste - è l'integrale della funzione di sopravvivenza (da a ) e- max ( - X , 0 ) 0 max(X,0)max(X,0)0

0xS(t)dt=0x(1/t+o(1/t))dtlog(x),

la parte positiva dell'aspettativa di diverge.X(i+1)/X(i)

Lo stesso argomento applicato alle variabili mostra la parte negativa dell'aspettativa divergente. Pertanto, l'aspettativa del rapporto non è nemmeno infinita: è indefinita.Xi


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+1 Stavo solo provando un caso 'semplice' , e ho provato a valutare le aspettative ... e sono arrivato alla stessa conclusione: che l'integrale delle aspettative non converge. Forse il PO riproporrà la domanda in una forma diversa, come le differenze piuttosto che i rapportin=3
lupi
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