Valore atteso del rapporto massimo di n le variabili normali

Supponiamo sono IID da e lasciare denota l' 'esimo elemento più piccolo da . Come si sarebbe in grado di superare il massimo previsto del rapporto tra due elementi consecutivi in ? Cioè, come è possibile calcolare un limite superiore su: $X_1,...,X_n$ $N(\mu,\sigma^2)$ $X_{(i)}$ $i$ $X_1,...,X_n$ $X_{(i)}$

E [max_{i = 1, . . ., n - 1} (\frac{X_{(i + 1)}}{X_{(i)}})]

$E\left[\max\limits_{i=1,...,n-1}\left(\frac{X_{(i+1)}}{X_{(i)}}\right)\right]$

La letteratura che sono stato in grado di trovare si concentra principalmente sul rapporto tra due variabili casuali che si traduce in una distribuzione del rapporto per la quale è disponibile qui il pdf per due distribuzioni normali non correlate: https://en.wikipedia.org/wiki/ Ratio_distribution # Gaussian_ratio_distribution . Mentre ciò mi consentirebbe di mettere in relazione il rapporto medio previsto di $n$ variabili, non riesco a vedere come generalizzare questo concetto per trovare il rapporto massimo previsto di $n$ variabili.

— Max
fonte

Come notato da Whuber di seguito, l'aspettativa del rapporto tra due statistiche consecutive dell'ordine non converge. Ma se lo ha fatto, o se sei interessato alla loro differenza, dì

E [max_{i = 1, . . ., n - 1} (X_{(i + 1)} - X_{(i)})]

$E\left[\max\limits_{i=1,...,n-1}\left(X_{(i+1)} - X_{(i)} \right)\right]$ ... il problema dovrebbe in effetti semplificare la ricerca del rapporto (o differenza, a seconda dei casi) delle due statistiche di ordine PIÙ GRANDI, ovvero

E [X_{(n)} - X_{(n - 1)}]

$E[X_{(n)} -X_{(n-1)}]$ ... proprio dalla forma delle code normali.

— Lupi,

L'attesa non è definita.

Lascia che sia identificato secondo qualsiasi distribuzione con la seguente proprietà: esiste un numero positivo un positivo tale che $X_i$ $F$ $h$ $\epsilon$

\begin{matrix} (1) & F (x) - F (0) \geq h x \end{matrix}

$F(x) - F(0) \ge h x\tag{1}$

per tutti . Questa proprietà è vera per qualsiasi distribuzione continua, come una distribuzione normale, la cui densità è continua e diversa da zero a , per poi , che ci consente di prende per qualsiasi valore fisso compreso tra e . $0 \lt x \lt \epsilon$ $f$ $0$ $F(x) - F(0) = f(0)x + o(x)$ $h$ $0$ $f(0)$

Per semplificare l'analisi, assumerò anche e , entrambi veri per tutte le distribuzioni normali. (Quest'ultimo può essere assicurato riscalando se necessario. Il primo viene utilizzato solo per consentire una semplice sottovalutazione di una probabilità.) $F(0) \gt 0$ $1-F(1) \gt 0$ $F$

Lasciatelo e sopravvalutiamo la funzione di sopravvivenza del rapporto come $t \gt 1$

\begin{aligned} Pr (\frac{X_{(i + 1)}}{X_{(i)}} > t) & = Pr (X_{(i + 1)} > t X_{(i)}) \\ > Pr (X_{(i + 1)} > 1, X_{(i)} \leq 1 / t) \\ > Pr (X_{(i + 1)} > 1, 1 / t \geq X_{(i)} > 0, 0 \geq X_{(i - 1)}) . \end{aligned}

$\eqalign{ \Pr\left(\frac{X_{(i+1)}}{X_{(i)}} \gt t\right) &= \Pr(X_{(i+1)} \gt t X_{(i)}) \\ &\gt \Pr(X_{(i+1)}\gt 1,\ X_{(i)} \le 1/t) \\ &\gt \Pr(X_{(i+1)}\gt 1,\ 1/t \ge X_{(i)} \gt 0,\ 0 \ge X_{(i-1)}).}$

Quest'ultima probabilità è la possibilità che esattamente di superi , esattamente uno risiede nell'intervallo e i restanti (se presenti) non sono positivi. In termini di tale possibilità è data dall'espressione multinomiale $n-i$ $X_j$ $1$ $(0,1/t]$ $i-1$ $F$

(\binom{n}{n - i, 1, i - 1}) (1 - F (1))^{n - i} (F (1 / t) - F (0)) F (0)^{i - 1} .

$\binom{n}{n-i,1,i-1}(1-F(1))^{n-i}(F(1/t)-F(0))F(0)^{i-1}.$

Quando , la disuguaglianza fornisce un limite inferiore per questo che è proporzionale a , mostrando che $t \gt 1/\epsilon$ $(1)$ $1/t$

La funzione di sopravvivenza di , ha una coda che si comporta asintoticamente come : cioè, per un numero positivo . $S(t)$ $X_{(i+1)}/X_{(i)}$ $1/t$ $S(t) = a/t + o(1/t)$ $a$

Per definizione, l'aspettativa di qualsiasi variabile casuale è l'aspettativa della sua parte positiva più l'aspettativa della sua parte negativa . Poiché la parte positiva dell'aspettativa - se esiste - è l'integrale della funzione di sopravvivenza (da a ) e $\max(X,0)$ $-\max(-X,0)$ $0$ $\infty$

\int_{0}^{x} S (t) d t = \int_{0}^{x} (1 / t + o (1 / t)) d t \propto \log (x),

$\int_0^x S(t) dt = \int_0^x (1/t + o(1/t))dt\; \propto\; \log(x),$

la parte positiva dell'aspettativa di diverge. $X_{(i+1)}/X_{(i)}$

Lo stesso argomento applicato alle variabili mostra la parte negativa dell'aspettativa divergente. Pertanto, l'aspettativa del rapporto non è nemmeno infinita: è indefinita. $-X_i$

— whuber
fonte

+1 Stavo solo provando un caso 'semplice' , e ho provato a valutare le aspettative ... e sono arrivato alla stessa conclusione: che l'integrale delle aspettative non converge. Forse il PO riproporrà la domanda in una forma diversa, come le differenze piuttosto che i rapporti

n = 3

$n = 3$

— lupi