Quale ospedale dovrebbe essere scelto? Uno ha un tasso di successo più elevato, ma l'altro ha un tasso di successo complessivo più elevato

Ho una domanda su qualcosa che il mio insegnante di statistica ha detto in merito al seguente problema. La mia domanda non riguarda nemmeno il verificarsi del paradosso di Simpson in questa situazione. La mia domanda riguarda semplicemente l'insistenza del mio professore che A) e D) siano le risposte giuste anziché A) e F). Egli ha detto:

"Poiché il tasso di successo è così basso per gli interventi chirurgici di tipo E, possiamo concludere che sono difficili e non solo rari. Quindi, Mercy probabilmente ha attrezzature / dottori migliori rispetto a Hope."

Non capisco come abbia potuto inferire statisticamente che Mercy fa "interventi chirurgici più difficili". La misericordia ha ovviamente un tasso di successo migliore negli interventi di tipo E, ma perché questo significa che fanno "interventi più difficili". Penso di essere stato fregato dalle parole di questo problema e il professore non si sta muovendo. Qualcuno può spiegare perché mi sbaglio o come posso spiegarlo al professore?

Ci sono due ospedali di nome Misericordia e Speranza nella tua città. È necessario scegliere uno di questi in cui sottoporsi a un'operazione. Decidi di basare la tua decisione sul successo dei loro team chirurgici. Fortunatamente, nell'ambito del nuovo piano sanitario, gli ospedali forniscono dati sul successo delle loro operazioni, suddivisi in cinque grandi categorie di operazioni. Supponiamo di ottenere i seguenti dati per i due ospedali:

Mercy Hospital

Type         A    B      C    D      E    All
Operations  359  1836   299   2086  149  4729
Successful  292  1449   179   434   13   2366

Hope Hospital 

Type          A   B  C   D   E   All
Operations   88 514 222 86  45   955
Successful   70 391 113 12  2    588

Notate che, in tutti i tipi di operazioni, Mercy ha un tasso di successo più elevato di Hope, ma Hope ha il tasso di successo complessivo più alto. Quale ospedale sceglieresti e perché (scegli due risposte)?

A) Misericordia; dal momento che vorrei andare per un'operazione specifica, voglio l'ospedale che ha il miglior tasso di successo per quell'operazione.

B) Speranza; poiché fanno meno operazioni in tutte le categorie, non sono "felici delle operazioni" come Mercy.

C) Speranza; questo è un esempio del paradosso di Simpson e dovremmo sempre scegliere la conclusione "ovvia".

D) Misericordia; guardando la colonna E, la Misericordia fa chiaramente interventi più difficili e quindi è probabilmente un ospedale migliore.

E) Speranza; ha il migliore tasso di successo complessivo.

F) Misericordia; questo è un esempio del paradosso di Simpson e dovremmo sempre scegliere il contrario della conclusione "ovvia".

Penso che A ed E non siano una buona combinazione, perché A dice che dovresti scegliere Mercy ed E dice che dovresti scegliere Hope.

A e D hanno la virtù di sostenere la stessa scelta. Ma, esaminiamo la linea di ragionamento in D in maggiore dettaglio, dal momento che sembra essere la confusione. La probabilità di successo degli interventi chirurgici segue lo stesso ordinamento in entrambi gli ospedali, con il tipo A che ha maggiori probabilità di successo e il tipo E è il meno probabile. Se collassiamo (cioè ignoriamo) gli ospedali, possiamo vedere che la probabilità marginale di successo degli interventi chirurgici è:

Type     A     B     C     D     E     All  
Prob   .81   .78   .56   .21   .08     .52

Poiché E ha molte meno probabilità di avere successo, è ragionevole immaginare che sia più difficile (sebbene nel mondo reale esistano anche altre possibilità). Possiamo estendere questa linea di pensiero anche agli altri quattro tipi. Ora diamo un'occhiata a quale percentuale degli interventi chirurgici totali di ciascun ospedale sono di ciascun tipo:

Type     A     B     C     D     E  
Mercy  .08   .39   .06   .44   .03  
Hope   .09   .54   .23   .09   .05

Ciò che notiamo qui è che Hope tende a fare più interventi chirurgici più facili AC (e in particolare B e C), e un minor numero di interventi chirurgici più difficili come D.E è abbastanza raro in entrambi gli ospedali, ma, per quel che vale, Hope in realtà fa una percentuale più alta. Tuttavia, l'effetto Paradox di Simpson sarà principalmente guidato da BD qui (non in realtà la colonna E come suggerito dalla scelta di risposta D).

Il paradosso di Simpson si verifica perché gli interventi chirurgici variano in difficoltà (in generale) e anche perché le N sono diverse. Sono i diversi tassi di base dei diversi tipi di interventi chirurgici che rendono questo contro-intuitivo. Ciò che sta accadendo sarebbe facile da vedere se entrambi gli ospedali facessero esattamente lo stesso numero di ciascun tipo di intervento chirurgico. Possiamo farlo semplicemente calcolando le probabilità di successo e moltiplicando per 100; questo si adatta alle diverse frequenze:

Type     A     B     C     D     E     All  
Mercy   81    79    60    21    09     250  
Hope    80    76    51    14    04     225

Ora, poiché entrambi gli ospedali hanno eseguito 100 interventi chirurgici (500 in totale), la risposta è ovvia: la misericordia è l'ospedale migliore.

Nessuna delle risposte è completamente priva di fondamento. Ma TUTTI assumono una significativa conoscenza esterna e non possono essere considerati corretti rigorosamente sulla base delle statistiche.

A, B, D ed E richiedono tutti presupposti sui fattori che inducono i pazienti a scegliere un ospedale piuttosto che un altro; il processo attraverso il quale medici e pazienti sono abbinati, la misura in cui le percentuali di successo sono attribuibili a specifiche classi di operazioni rispetto a fattori condivisi come la terapia intensiva, e su un on.

Nel mondo reale potremmo legittimamente considerare molti fattori alternativi come i fornitori di pagamenti che l'ospedale accetta ufficialmente, i tassi socioeconomici e di obesità del quartiere, sia che si tratti di un ospedale universitario (nel qual caso il tasso di successo precipita quando arrivano nuovi stagisti e noi considerare il mix mensile) e così via.

Ovviamente possiamo e facciamo ipotesi ragionevoli su questi fattori, ma senza affrontare in modo specifico o escluderli dal problema, è impossibile dire se una risposta è "giusta" o no.

@gung ha dato una risposta molto approfondita, ma c'è un'altra ragione per cui D è una risposta corretta alla domanda: gli ospedali migliori fanno più operazioni difficili perché sono migliori. Cioè, se una persona entra nell'ospedale Hope per l'operazione E (la più difficile), può mandarla a Mercy perché a Hope non sa come farlo.

Ciò accade anche nel mondo reale, con i casi più difficili inviati in ospedali più grandi o più specializzati.