Perché il CLT non funziona per

Quindi sappiamo che una somma di poisson con il $n$parametro $\lambda$ è essa stessa un poisson con $n\lambda$ . Quindi ipoteticamente, si potrebbe prendere $x \sim poisson(\lambda = 1)$ e dire che è in realtà $\sum_1^n x_i \sim poisson(\lambda = 1)$ dove ogni $x_i$ è: $x_i \sim poisson(\lambda = 1/n)$ , e prendere un grande n ottenga CLT al lavoro.

Questo (ovviamente) non funziona. Suppongo che ciò abbia a che fare con il modo in cui CLT funziona "più velocemente" per variabili casuali che sono "più vicine" alla normalità e che più piccola è lambda, più otteniamo una variabile casuale che è principalmente 0 e varia raramente qualcos'altro.

Tuttavia, ciò che ho spiegato è la mia intuizione. C'è un modo più formale per spiegare perché è così?

Grazie!

I agree with @whuber that the root of the confusion seems to be replacing the summation asymptotic in CLT with some sort of division in your argument. In CLT we get the fixed distribution $f(x,\lambda)$ then draw $n$ numbers $x_i$ from it and calculate the sum $\bar x_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i$. If we keep increasing $n$ then an interesting thing happens:

$$\sqrt n (\bar x_n-\mu)\rightarrow\mathcal{N}(0,\sigma^2)$$ where $\mu,\sigma^2$ are mean and the variance of the distribution $f(x)$.

Quello che stai suggerendo di fare con Poisson è un po 'all'indietro: invece di sommare le variabili da una distribuzione fissa , vuoi dividere la distribuzione fissa in parti in continua evoluzione . In altre parole prendi una variabile da una distribuzione fissa f ( x , λ ) quindi la dividi in x i in modo che n ∑ i = 1 x i ≡ $x$$f(x,\lambda)$$x_i$

$$\sum_{i=1}^nx_i\equiv x$$

Cosa dice CLT su questo processo? Niente. Nota, come in CLT abbiamo mai cambiato e la suadistribuzionevariabilefn(x)che converge in unadistribuzionefissaN(0,σ2$\sqrt n(\bar x_n-\mu)$$f_n(x)$$\mathcal{N}(0,\sigma^2)$

Nella tua configurazione né la somma né la sua distribuzione f ( x , λ ) stanno cambiando! Sono riparati. Non stanno cambiando, non stanno convergendo a nulla. Quindi, CLT non ha nulla da dire al riguardo.$x$$f(x,\lambda)$

Inoltre, CLT non dice nulla sul numero di elementi nella somma. Puoi avere una somma di 1000 variabili da Poisson (0.001) e CLT non dirà nulla sulla somma. Tutto ciò che dice è che se continui ad aumentare N, ad un certo punto questa somma inizierà ad apparire come una normale distribuzione$\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i, x_i\sim Poisson(0.001)$ . Infatti se N = 1.000.000 otterrai l'approssimazione ravvicinata della distribuzione normale.

La tua intuizione ha ragione solo sul numero di elementi nella somma, vale a dire che più la distribuzione iniziale è diversa dalla normale, quindi più elementi che devi sommare per arrivare alla normalità. Il modo più formale (ma ancora informale) sarebbe guardando la funzione caratteristica di Poisson: Se si À > > 1 , che si ottiene con lo sviluppo di Taylor (WRT t ) dell'esponente nidificato: ≈ exp ( i λ t - λ / 2 t

$$\exp(\lambda (\exp(it)-1))$$ $\lambda>>1$$t$ $$\approx\exp(i\lambda t-\lambda/2t^2)$$ Questa è la funzione caratteristica della distribuzione normale $\mathcal{N}(\lambda,\lambda^2)$

Tuttavia, la tua intuizione non viene applicata correttamente: lo spostamento della sommatoria in CLT con una sorta di divisione confonde le cose e rende CLT inapplicabile.

Il problema con il tuo esempio è che stai permettendo ai parametri di cambiare come cambia. Il CLT ti dice che per una distribuzione fissa con una media finita e sd, come n → $n$$n \rightarrow \infty$ ,

$\frac {\sum x - \mu} {\sqrt n} \rightarrow_d N(0, \sigma)$ ,

dove e σ sono dalla media e sd della distribuzione di x .$\mu$$\sigma$$x$

Of course, for different distributions (i.e. higher skewed for example), larger $n$'s are required before the approximation derived from this theorem become reasonable. In your example, for $\lambda_m = 1/m$, an $n >> m$ is required before the normal approximation is reasonable.

EDIT

There is discussion about how the CLT does not apply to sums, but rather to standardized sums (i.e. $\sum x_i / \sqrt n$ not $\sum x_i$). In theory, this is of course true: the unstandardized sum will have an undefined distribution in most cases.

$F_{\bar x}$$n$$F_{\sum x}$$X_i \sim Pois(\lambda)$$Y = \sum_{i = 1}^n X_i \sim Pois(n\lambda)$. And we all learned in our upper division probability course that for large $\lambda$, the CDF of a $Pois(\lambda)$ can be approximated quite well by a normal with $\mu = \lambda$, $\sigma^2 = \lambda$. So for any fixed $\lambda$, we can approximate the CDF of $Y \sim Pois(n\lambda)$ fairly well with $\Phi( \frac{y - n\lambda}{\sqrt{n\lambda} })$ for a large enough $n$ if $\lambda > 0$ (approximation can trivially be applied if $\lambda = 0$, but not the calculation of the CDF as I have written it).

While the CLT does not readily apply to sums, the approximation based on the CLT certainly does. I believe this is what the OP was referring to when discussing applying the CLT to the sum.

The question is, I argue, more interesting if thought about more generally, letting the distribution of the parent Poisson depend on $n$, say with parameter $\lambda_n$ and $\lambda_n = 1$ as a special case. I think it's perfectly reasonable to ask why, and how we can understand that, a central limit theorem does not hold for the sum $S_n = \sum_{i=1}^n X_{i,n}$. After all, it's common to apply a CLT even in problems where the distributions of the components of the sum depend on $n$. It's also common to decompose Poisson distributions as the distribution of a sum of Poisson variables, and then apply a CLT.

The key issue as I see it is that your construction implies the distribution of $X_{i, n}$ depends on $n$ in such a way that the parameter of the distribution of $S_n$ does not grow in $n$. If you would instead have taken, for example, $S_n \sim Poi(n)$ and made the same decomposition, the standard CLT would apply. In fact, one can think of many decompositions of a $Poi(\lambda_n)$ distribution that allows for application of a CLT.

The Lindeberg-Feller Central Limit Theorem for triangular arrays is often used to examine convergence of such sums. As you point out, $S_n \sim Poi(1)$ for all $n$, so $S_n$ cannot be asymptotically normal. Still, examining the Lindeberg-Feller condition sheds some light on when decomposing a Poisson into a sum may lead to progress.

A version of the theorem may be found in these notes by Hunter. Let $s_n^2 = \mathrm{Var(S_n)}$. The Lindeberg-Feller condition is that, $\forall \epsilon >0$:

$$\frac{1}{s_n^2}\sum_{i=1}^n\mathbb E[X_{i,n} - 1/n]^2I(\vert X_{i,n} - 1/n \vert >\epsilon s_n) \to 0,n\to\infty$$

Now, for the case at hand, the variance of the terms in the sum is dying off so quickly in $n$ that $s_n = 1$ for every $n$. For fixed $n$, we also have that the $X_{i,n}$ are iid. Thus, the condition is equivalent to

$$n\mathbb E[X_{1,n} - 1/n]^2I(\vert X_{1,n} - 1/n \vert >\epsilon) \to 0.$$

But, for small $\epsilon$ and large $n$,

$$\begin{align} n\mathbb E[X_{1,n} - 1/n]^2I(\vert X_{1,n} - 1/n \vert >\epsilon) &>n\epsilon^2P(X_{1,n}>0) \\ &=\epsilon^2n[1 - e^{-1/n}] \\ &= \epsilon^2n[1-(1 - 1/n + o(1/n))] \\ &= \epsilon^2 + o(1), \end{align}$$

which does not approach zero. Thus, the condition fails to hold. Again, this is as expected since we already know the exact distribution of $S_n$ for every $n$, but going through these calculations gives some indications of why it fails: if the variance didn't die off as quickly in $n$ you could have the condition hold.