Come viene distribuito il minimo di un insieme di variabili casuali?

$X_1, ..., X_n$$\min(X_1, ..., X_n)$

Se il cdf di $X_i$ è indicato da $F(x)$ , allora il cdf del minimo è dato da $1-[1-F(x)]^n$ .

Se il CDF di $X_i$ è indicato con $F(x)$ , il CDF del minimo è dato da $1-[1-F(x)]^n$ .

Ragionamento: date $n$ variabili casuali, la probabilità $P(Y\leq y) = P(\min(X_1\dots X_n)\leq y)$ implica che almeno un $X_i$ è minore di $y$ .

La probabilità che almeno una $X_i$ sia minore di $y$ equivale a una meno la probabilità che tutte le $X_i$ siano maggiori di $y$ , ovvero $P(Y\leq y) = 1 - P(X_1 \gt y,\dots, X_n \gt y)$ .

Se gli sono distribuiti in modo identico indipendente, la probabilità che tutti gli siano maggiori di è . Pertanto, la probabilità originale è .$X_i$$X_i$$y$$[1-F(y)]^n$$P(Y \leq y) = 1-[1-F(y)]^n$

Esempio : dire , quindi intuitivamente la probabilità dovrebbe essere uguale a 1 (poiché il valore minimo sarebbe sempre inferiore a 1 poiché per tutti ). In questo caso quindi la probabilità è sempre 1.$X_i \sim \text{Uniform} (0,1)$$\min(X_1\dots X_n)\leq 1$$0\leq X_i\leq 1$$i$$F(1)=1$

Rob Hyndman ha dato la risposta esatta semplice per un n fisso. Se sei interessato al comportamento asintotico per n grandi, questo è gestito nel campo della teoria dei valori estremi . Esiste una piccola famiglia di possibili distribuzioni limitanti; vedi ad esempio i primi capitoli di questo libro .

Penso che la risposta 1- (1-F (x)) ^ n sia corretta in casi speciali. Casi particolari sono le condizioni in cui pmf di rv si basa su una formula per il dominio di rv Se è diverso nelle varie parti del dominio sopra menzionata, la deviazione si discosta leggermente dai risultati di simulazione reali.