Risposte:
Se il cdf di è indicato da , allora il cdf del minimo è dato da .
Se il CDF di è indicato con , il CDF del minimo è dato da .
Ragionamento: date variabili casuali, la probabilità implica che almeno un è minore di .
La probabilità che almeno una sia minore di equivale a una meno la probabilità che tutte le siano maggiori di , ovvero .
Se gli sono distribuiti in modo identico indipendente, la probabilità che tutti gli siano maggiori di è . Pertanto, la probabilità originale è .
Esempio : dire , quindi intuitivamente la probabilità dovrebbe essere uguale a 1 (poiché il valore minimo sarebbe sempre inferiore a 1 poiché per tutti ). In questo caso quindi la probabilità è sempre 1.
Rob Hyndman ha dato la risposta esatta semplice per un n fisso. Se sei interessato al comportamento asintotico per n grandi, questo è gestito nel campo della teoria dei valori estremi . Esiste una piccola famiglia di possibili distribuzioni limitanti; vedi ad esempio i primi capitoli di questo libro .
Penso che la risposta 1- (1-F (x)) ^ n sia corretta in casi speciali. Casi particolari sono le condizioni in cui pmf di rv si basa su una formula per il dominio di rv Se è diverso nelle varie parti del dominio sopra menzionata, la deviazione si discosta leggermente dai risultati di simulazione reali.