Che cosa significa dire che un evento "accade alla fine"?

Considera una passeggiata casuale a 1 dimensione sugli interi con stato iniziale : $\mathbb{Z}$ $x\in\mathbb{Z}$

S_{n} = x + \sum_{i = 1}^{n} ξ_{i}

$\begin{equation} S_n=x+\sum^n_{i=1}\xi_i \end{equation}$

dove gli incrementi sono IID tali che . $\xi_i$ $P\{\xi_i=1\}=P\{\xi_i=-1\}=\frac{1}{2}$

Si può dimostrare che (1)

P^{x} {S_{n} reaches +1 eventually} = 1

$\begin{equation} P^x{\{S_n \text{ reaches +1 eventually}\}} = 1 \end{equation}$

dove il pedice indica la posizione iniziale.

Let essere il primo tempo di passaggio allo stato . In altre parole, . Si può anche dimostrare che (2) $\tau$ $+1$ $\tau:=\tau(1):=\min\{n\geq0:S_n=1\}$

E τ = + \infty

$\begin{equation} E\tau = +\infty \end{equation}$

Entrambe le prove sono disponibili in http://galton.uchicago.edu/~lalley/Courses/312/RW.pdf . Leggendo l'articolo, capisco entrambe le prove.

La mia domanda è, tuttavia, quale sia il significato di "eventualmente" sia nella prima frase che in generale. Se qualcosa accade "alla fine", non deve avvenire a tempo finito, vero? In tal caso, qual è la differenza tra qualcosa che non accade e qualcosa che non accade "alla fine"? Le dichiarazioni (1) e (2) in un certo senso si contraddicono con me. Ci sono altri esempi come questo?

MODIFICARE

Voglio solo aggiungere una motivazione per la questione, vale a dire, un esempio semplice di qualcosa che accade "alla fine", ma con finito tempo di attesa previsto.

\begin{aligned} P {walker eventually moves left} & = 1 - P {walker never moves left} \\ = 1 - lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n}} \\ = 1 \end{aligned}

$\begin{split} P\{\text{walker eventually moves left}\} & = 1 - P\{\text{walker never moves left}\} \\ & = 1-\lim_{n\to\infty} \frac{1}{2^n} \\ & = 1 \end{split}$

Pertanto sappiamo che il camminatore "alla fine" si sposterà a sinistra e il tempo di attesa previsto prima di farlo (cioè, spostandosi a sinistra) è . $1/(1/2)=2$

Vedere qualcosa che accade "alla fine", ma con un "tempo di attesa" infinito previsto è stato piuttosto lungo per la mia immaginazione. La seconda metà della risposta di @ whuber è un altro grande esempio.

— Ye Tian
fonte

no alla fine significa a tempo finito. Questo è esattamente ciò che viene contrastato: P è finito, mentre l'attesa di tau è infinita

— seanv507

Bene, c'è l'esempio canonico della distribuzione di Cauchy en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_distribution .

— seanv507,

@ seanv507 - Sì, sebbene la media della distribuzione di Cauchy sia indefinita piuttosto che infinita (una media campionaria del dbn di Cauchy salterà in giro mentre avvicina all'infinito anziché convergere costantemente in + Infinito). Stavo pensando alla distribuzione di Pareto ( en.wikipedia.org/wiki/Pareto_distribution ), che ha mean = Infinity quando il suo parametro di forma e tuttavia ha una funzione di distribuzione di probabilità ben definita.

n

$n$

α <= 1

$\alpha <= 1$

— RobertF,

@RobertF grazie - avrei dovuto dire Pareto

— seanv507,

C'è un po 'di conforto in tutto questo: se , allora , ma non viceversa.

P (τ = \infty) > 0

$P(\tau=\infty)>0$

E [τ] = \infty

$E[\tau]=\infty$

— Alex R.

Risposte:

Come dimostreresti che un evento "alla fine accade"? Conduresti un esperimento mentale con un ipotetico avversario. Il tuo avversario può sfidarti con qualsiasi numero positivo . Se riesci a trovare un (che molto probabilmente dipende da ) per il quale la probabilità che l'evento si verifichi entro il tempo è almeno , allora vinci. $p$ $n$ $p$ $n$ $1-p$

Nell'esempio, " " è notazione fuorviante perché la si utilizza sia per riferirsi a uno stato di una camminata casuale sia all'intera camminata casuale stessa. Facciamo attenzione a riconoscere la distinzione. "Raggiunge eventualmente" si riferisce a un sottoinsieme dell'insieme di tutte le passeggiate casuali . Ogni passeggiata ha infiniti passaggi. Il valore di al momento è . " raggiunge per tempo " si riferisce al sottoinsieme di di camminate che hanno raggiunto lo stato per tempo $S_n$ $1$ $\mathcal{S}$ $\Omega$ $S\in\Omega$ $S$ $n$ $S_n$ $S$ $1$ $n$ $\Omega$ $1$ $n$ . Rigorosamente, è il set

Ω_{1, n} = {S \in Ω ∣ S_{1} = 1 or S_{2} = 1 or \dots or S_{n} = 1} .

$\Omega_{1,n} = \{S\in\Omega \mid S_1=1\text{ or }S_2=1\text{ or }\cdots\text{ or }S_n=1\}.$

Nella tua risposta all'avversario immaginario, stai esibendo alcuni con la proprietà che $\Omega_{1,n}$

P_{ξ} (Ω_{1, n}) \geq 1 - p .

$\mathbb{P}_\xi(\Omega_{1,n}) \ge 1-p.$

Poiché è arbitrario, sono disponibili tutti gli elementi dell'insieme $n$

Ω_{1, \infty} = ⋃_{n = 1}^{\infty} Ω_{1, n} .

$\Omega_{1,\infty} = \bigcup_{n=1}^\infty \Omega_{1,n}.$

(Ricorda che se e solo se esiste un finito per il quale , quindi non ci sono qualsiasi numero infinito coinvolto in questa unione.) $S \in \bigcup_{n=1}^\infty \Omega_{1,n}$ $n$ $S \in \Omega_{1,n}$

La tua capacità di vincere la partita mostra che questa unione ha una probabilità che supera tutti i valori del modulo , non importa quanto piccolo possa essere . Di conseguenza, tale probabilità è almeno - e quindi uguale a . Avrai dimostrato, quindi, che $1-p$ $p\gt 0$ $1$ $1$

P_{ξ} (Ω_{1, \infty}) = 1.

$\mathbb{P}_\xi(\Omega_{1,\infty}) = 1.$

Un modo semplice per apprezzare la distinzione tra "accadere alla fine" e avere un tempo infinito previsto per il primo passaggio è contemplare una situazione più semplice. Per qualsiasi numero naturale, lascia che sia la sequenza $n$ $\omega^{(n)}$

ω^{(n)} = (\underset{n}{\underset{⏟}{0, 0, \dots, 0}}, 1, 1, \dots)

$\omega^{(n)} = (\underbrace{0, 0,\ldots,0}_{n},1,1,\ldots)$

in cui zeri sono seguiti da una stringa infinita di quelli. In altre parole, queste sono le passeggiate che rimangono all'origine e ad un certo punto (finito) passano al punto , quindi restano lì per sempre. $n$ $1$

Sia l'insieme di tutti questi con l'algebra di sigma discreta. Assegnare una misura di probabilità tramite $\Omega$ $\omega^{(n)}, n=0, 1, 2, \ldots$

P (ω^{(n)}) = \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} = \frac{1}{(n + 1) (n + 2)} .

$\mathbb{P}(\omega^{(n)}) = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}.$

Questo è stato progettato per rendere la possibilità di saltare a entro il tempo uguale a , che ovviamente si avvicina arbitrariamente a . Vincerai la partita. Il salto alla fine si verifica e quando lo fa, sarà ad un certo momento. Tuttavia, il tempo previsto quando accade è la somma della funzione di sopravvivenza (che dà la possibilità di non saltare al tempo ), $1$ $n$ $1-1/(n+1)$ $1$ $n$

E (τ) = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots,

$\mathbb{E}(\tau) = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots,$

che diverge. Questo perché viene data una probabilità relativamente grande di aspettare molto tempo prima di saltare.

— whuber
fonte

Sto fraintendendo se leggo la tua prima sezione come si riduce a un argomento epsilon / delta, e quindi sostanzialmente sto solo dicendo (dove è la probabilità di un evento dopo passaggi) ?

lim_{n \to \infty} P_{n} = 1

$\lim_{ n \to \infty } P_n = 1$

P_{n}

$P_n$

n

$n$

— jpmc26,

@jpm Non si riduce solo ad esso: è un argomento epsilon-delta. In questo caso "delta" è " " e "epsilon" è scritto " " per ricordare che è una probabilità. L'enfasi qui è sulla finezza di : i limiti sono definiti in termini di valori finiti e operazioni finite, non infiniti.

n

$n$

p

$p$

n

$n$

— whuber

Ringrazio un utente anonimo per aver suggerito l'uso underbracenella descrizione di .

ω^{(n)}

$\omega^{(n)}$

— whuber

Che qualcosa accada alla fine significa che c'è un certo momento nel quale accade, ma c'è una connotazione secondo cui non ci si riferisce a un particolare momento specificato prima del quale accade. Se dici che succederà qualcosa entro tre settimane, questa è una dichiarazione più forte di quella che accadrà alla fine. Che accadrà alla fine non specifica un tempo, come "tre settimane" o "trenta miliardi di anni" o "un minuto".

— Michael Hardy
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