Come dimostreresti che un evento "alla fine accade"? Conduresti un esperimento mentale con un ipotetico avversario. Il tuo avversario può sfidarti con qualsiasi numero positivo . Se riesci a trovare un (che molto probabilmente dipende da ) per il quale la probabilità che l'evento si verifichi entro il tempo è almeno , allora vinci.n p n 1 - ppnpn1−p
Nell'esempio, " " è notazione fuorviante perché la si utilizza sia per riferirsi a uno stato di una camminata casuale sia all'intera camminata casuale stessa. Facciamo attenzione a riconoscere la distinzione. "Raggiunge eventualmente" si riferisce a un sottoinsieme dell'insieme di tutte le passeggiate casuali . Ogni passeggiata ha infiniti passaggi. Il valore di al momento è . " raggiunge per tempo " si riferisce al sottoinsieme di di camminate che hanno raggiunto lo stato per tempo 1 S Ω S ∈ Ω S n S n S 1 n Ω 1 nSn1SΩS∈ΩSnSnS1nΩ1n. Rigorosamente, è il set
Ω1,n={S∈Ω∣S1=1 or S2=1 or ⋯ or Sn=1}.
Nella tua risposta all'avversario immaginario, stai esibendo alcuni con la proprietà cheΩ1,n
Pξ(Ω1,n)≥1−p.
Poiché è arbitrario, sono disponibili tutti gli elementi dell'insiemen
Ω1,∞=⋃n=1∞Ω1,n.
(Ricorda che se e solo se esiste un finito per il quale , quindi non ci sono qualsiasi numero infinito coinvolto in questa unione.)S∈⋃∞n=1Ω1,n S ∈ Ω 1 , nnS∈Ω1,n
La tua capacità di vincere la partita mostra che questa unione ha una probabilità che supera tutti i valori del modulo , non importa quanto piccolo possa essere . Di conseguenza, tale probabilità è almeno - e quindi uguale a . Avrai dimostrato, quindi, chep > 0 1 11−pp>011
Pξ(Ω1,∞)=1.
Un modo semplice per apprezzare la distinzione tra "accadere alla fine" e avere un tempo infinito previsto per il primo passaggio è contemplare una situazione più semplice. Per qualsiasi numero naturale, lascia che sia la sequenzaω (nω(n)
ω(n)=(0,0,…,0n,1,1,…)
in cui zeri sono seguiti da una stringa infinita di quelli. In altre parole, queste sono le passeggiate che rimangono all'origine e ad un certo punto (finito) passano al punto , quindi restano lì per sempre.1n1
Sia l'insieme di tutti questi con l'algebra di sigma discreta. Assegnare una misura di probabilità tramiteω ( n ) , n = 0 , 1 , 2 , ...Ωω(n),n=0,1,2,…
P(ω(n))=1n+1−1n+2=1(n+1)(n+2).
Questo è stato progettato per rendere la possibilità di saltare a entro il tempo uguale a , che ovviamente si avvicina arbitrariamente a . Vincerai la partita. Il salto alla fine si verifica e quando lo fa, sarà ad un certo momento. Tuttavia, il tempo previsto quando accade è la somma della funzione di sopravvivenza (che dà la possibilità di non saltare al tempo ),n 1 - 1 / ( n + 1 )1 n1−1/(n+1)1n
E(τ)=11+12+13+⋯,
che diverge. Questo perché viene data una probabilità relativamente grande di aspettare molto tempo prima di saltare.