Intuizione alla base della distribuzione della legge sul potere

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So che il pdf di una distribuzione della legge di potere è

p (x) = \frac{α - 1}{x_{min}} {(\frac{x}{x_{min}})}^{- α}

$p(x) = \frac{\alpha-1}{x_{\text{min}}} \left(\frac{x}{x_{\text{min}}} \right)^{-\alpha}$

Ma cosa significa intuitivamente se, ad esempio, i prezzi delle azioni seguono una distribuzione della legge sul potere? Questo significa che le perdite possono essere molto alte ma poco frequenti?

distributions power-law

— Thomas James
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Questa è una distribuzione dalla coda pesante, poiché il cdf è Quindi la probabilità di superare,può essere fatta arbitrariamente vicino acon la scelta corretta di. Ad esempio, se si desidera che la probabilità di superaresia almeno, si dovrebbe scegliereper essere al massimo una curva rappresentata sotto, con il primo asse scalato da

F (x) = 1 - {(\frac{x}{x_{min}})}^{1 - α}

$F(x) = 1 - \left( \dfrac{x}{x_\min} \right)^{1-\alpha}$

x

$x$

(x / x_{min})^{1 - α}

$(x/x_\min)^{1-\alpha}$

1

$1$

α

$\alpha$

10^{u} x_{min}

$10^u x_\min$

0.9

$0.9$

α

$\alpha$

1 - \log_{10} (0.9) / u

$1-\log_{10}(0.9)/u$

, non con

...

u

$u$

10^{u} x_{min}

$10^u x_\min$ Rendering della curva a R della funzione sopra

— Xi'an
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Non è una fonte peer-reviewed, ma mi piace questa nota della professoressa di statistica CMU Cosma Shalizi . È anche autore di questo articolo sulla stima di tali dati dai dati.

— Sì
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Ecco perché ho posto la mia domanda. Ho già letto quell'articolo. Senza equazioni, cosa significa per qualcosa seguire una distribuzione della legge del potere?

— Thomas James,

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Benvenuto nel sito, Thomas! Potresti considerare di modificare la tua domanda per dare qualche indicazione su ciò che ha suscitato il tuo interesse inizialmente. In generale, più informazioni, meglio è. Ad esempio, affermando che avresti letto la nota del Prof. Shalizi e che ti ha fatto meravigliare che X non solo preveda risposte che suggerirebbero esattamente questo, ma mostra anche più chiaramente il tuo treno di pensieri, che tende a ottenere risposte migliori. :) (Ad esempio, hai letto l'articolo di revisione di M. Mitzenmacher su Internet Mathematics ?)

— Cardinale

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Il documento Power Laws in Economics and Finance può aiutare a ottenere intuizione sulle leggi sul potere. Xavier Gabaix afferma che la legge del potere (PL) è la forma assunta da un gran numero di sorprendenti regolarità empiriche in economia e finanza. La sua recensione indaga su PL empirici ben documentati in termini di reddito e ricchezza, dimensioni di città e imprese, rendimenti di borsa, volume degli scambi, commercio internazionale e retribuzione dei dirigenti.

Intuizione per la distribuzione di Pareto

Pareto (wikipedia) in origine descriveva l'allocazione della ricchezza tra gli individui: gran parte della ricchezza di qualsiasi società è di proprietà di una piccola percentuale di persone. La sua idea espressa più semplicemente come il principio di Pareto o la "regola dell'80-20" afferma che il 20% della popolazione controlla l'80% della ricchezza.

La giusta coda di distribuzione del reddito e della ricchezza spesso assomiglia a Pareto

Se la distribuzione del reddito è Pareto, allora si possono ricavare espressioni semplici per la quota dell'1% superiore o del 10% superiore. Quindi la quota del quinto percentile superiore del reddito totale può essere derivata come:

{(\frac{q}{100})}^{\frac{α - 1}{α}},

$\left(\frac{q}{100}\right)^{\frac{\alpha-1}{\alpha}},$

$\alpha \geq 1$ $\alpha$ $\alpha=2$ $\alpha=3$

— Emeryville
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$X \sim \text{Power}(x_\min, \alpha)$ $Y = \ln(x/x_\min) \sim \text{Exp}(\alpha-1)$ $X$

$Y$ $X$ otteniamo:

\begin{aligned} α - 1 = λ_{Y} (y) & = lim_{ϵ ↓ 0} \frac{1}{ϵ} \cdot P (y ⩽ Y ⩽ y + ϵ | Y ⩾ y) \\ = lim_{ϵ ↓ 0} \frac{1}{ϵ} \cdot P (\ln (x) ⩽ \ln (X) ⩽ \ln (x) + ϵ | X ⩾ x) \\ = lim_{ϵ ↓ 0} \frac{P (x ⩽ X ⩽ x e^{ϵ} | X ⩾ x)}{ϵ} \\ = lim_{δ ↓ 1} \frac{P (x ⩽ X ⩽ δ x | X ⩾ x)}{\ln δ} . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \alpha -1 = \lambda_Y(y) &= \lim_{\epsilon \downarrow 0} \frac{1}{\epsilon} \cdot \mathbb{P}(y \leqslant Y \leqslant y + \epsilon| Y \geqslant y) \\[6pt] &= \lim_{\epsilon \downarrow 0} \frac{1}{\epsilon} \cdot \mathbb{P}(\ln(x) \leqslant \ln(X) \leqslant \ln(x) + \epsilon| X \geqslant x) \\[6pt] &= \lim_{\epsilon \downarrow 0} \frac{\mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant x e^\epsilon | X \geqslant x)}{\epsilon} \\[6pt] &= \lim_{\delta \downarrow 1} \frac{ \mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant \delta x | X \geqslant x)}{\ln \delta}. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$

We can see from this hazard characterisation that $\mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant \delta x | X \geqslant x) \approx (\alpha-1) \ln \delta$ for any small values of $\ln \delta$ . Notice that this probability does not depend on the conditioning value $x$ , which is the result of the constant-hazard property. Hence, for any conditioning values $x, x' > x_\min$ , and any small value $\ln \delta$ , we have:

P (x ⩽ X ⩽ δ x | X ⩾ x) \approx P (x^{'} ⩽ X ⩽ δ x^{'} | X ⩾ x^{'}) .

$\mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant \delta x | X \geqslant x) \approx \mathbb{P}(x' \leqslant X \leqslant \delta x' | X \geqslant x').$

Hence, we see that the power-law can be characterised by the fact that this conditional probability is approximately the same regardless of the conditioning point. In the context of stock prices, if these follow a power-law then we can say that, the probability that the stock will "rise" by some proportion is not dependent on its present value $^\dagger$ .

$^\dagger$ We use "rise" loosely here, since we are talking about a single random variable, and we have not modelled a time-series of stock prices. Within out present context we refer to the probability of a "rise" in the stock price in the sense of a conditional probability that the price is within some interval above a lower bound, conditional on this lower bound.

— Reinstate Monica
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