Aspettativa di

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Lascia che $X_1$ , $X_2$ , $\cdots$ , $X_d \sim \mathcal{N}(0, 1)$ e siano indipendenti. Qual è l'aspettativa di $\frac{X_1^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}$ ?

È facile trovare $\mathbb{E}\left(\frac{X_1^2}{X_1^2 + \cdots + X_d^2}\right) = \frac{1}{d}$ per simmetria. Ma non so come trovare le aspettative di $\frac{X_1^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}$ . Potresti fornire alcuni suggerimenti?

Quello che ho ottenuto finora

Volevo trovare per simmetria. Ma questo caso è diverso da quello per perché potrebbe non essere uguale a . Quindi ho bisogno di altre idee per trovare l'aspettativa. $\mathbb{E}\left(\frac{X_1^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$ $\mathbb{E}\left(\frac{X_1^2}{X_1^2 + \cdots + X_d^2}\right)$ $\mathbb{E}\left(\frac{X_i^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$ $\mathbb{E}\left(\frac{X_i^2X_j^2}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$

Da dove viene questa domanda

Una domanda nello scambio di stack matematici richiede la varianza di per un vettore casuale uniforme di unità su . La mia derivazione mostra che la risposta dipende fortemente dai valori di e per . Poiché e per simmetria, dobbiamo solo conoscere il valore di $\|Ax\|_2^2$ $x$ $S^{d-1}$ $\mathbb{E}\left(\frac{X_i^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$ $\mathbb{E}\left(\frac{X_i^2X_j^2}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$ $i \neq j$

\sum_{i \neq j} E (\frac{X_{i}^{2} X_{j}^{2}}{(X_{1}^{2} + \dots + X_{d}^{2})^{2}}) + \sum_{i} E (\frac{X_{i}^{4}}{(X_{1}^{2} + \dots + X_{d}^{2})^{2}}) = 1

$\sum_{i \neq j}\mathbb{E} \left( \frac{X_i^2X_j^2}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right) + \sum_i \mathbb{E}\left(\frac{X_i^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right) = 1$

E (\frac{X_{1}^{4}}{(X_{1}^{2} + \dots + X_{d}^{2})^{2}})

$\mathbb{E}\left(\frac{X_1^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$ per ottenere altre aspettative.

— Michael Hardy
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La distribuzione di $X_i^2$ è chi-quadro (e anche un caso speciale di gamma).

La distribuzione di è quindi beta. $\frac{X_1^2}{X_1^2 + \cdots + X_d^2}$

L'aspettativa del quadrato di una beta non è difficile.

— Glen_b -Restate Monica
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Questa risposta espande la risposta di @ Glen_b.

Fatto 1: Se , , , sono variabili casuali di distribuzione normale standard indipendente, la somma dei loro quadrati ha distribuzione chi-quadrato con gradi di libertà. In altre parole, $X_1$ $X_2$ $\cdots$ $X_n$ $n$
$X_{1}^{2} + \dots + X_{n}^{2} \sim χ^{2} (n)$ $X_1^2 + \cdots + X_n^2 \sim \chi^2(n)$

Pertanto, e . $X_1^2 \sim \chi^2(1)$ $X_2^2 + \cdots + X_d^2 \sim \chi^2(d-1)$

Fatto 2: se e , allora $X \sim \chi^2(\lambda_1)$ $Y \sim \chi^2(\lambda_2)$
$\frac{X}{X + Y} \sim beta (\frac{λ_{1}}{2}, \frac{λ_{2}}{2})$ $\frac{X}{X + Y} \sim \texttt{beta}(\frac{\lambda_1}{2}, \frac{\lambda_2}{2})$

Pertanto, . $Y = \frac{X_1^2}{X_1^2 + \cdots + X_d^2} \sim \texttt{beta}(\frac{1}{2}, \frac{d-1}{2})$

Fatto 3: se , quindi e $X \sim \texttt{beta}(\alpha, \beta)$
$E (X) = \frac{α}{α + β}$ $\mathbb{E}(X) = \frac{\alpha}{\alpha + \beta}$ $V a r (X) = \frac{α β}{(α + β)^{2} (α + β + 1)}$ $\mathbb{Var}(X) = \frac{\alpha\beta}{(\alpha + \beta)^2(\alpha + \beta + 1)}$

Pertanto, e

E (Y) = \frac{1}{d}

$\mathbb{E}(Y) = \frac{1}{d}$

V a r (Y) = \frac{2 (d - 1)}{d^{2} (d + 2)}

$\mathbb{Var}(Y) = \frac{2(d-1)}{d^2(d+2)}$

Infine,

E (Y^{2}) = V a r (Y) + E (Y)^{2} = \frac{3 d}{d^{2} (d + 2)} .

$\mathbb{E}(Y^2) = \mathbb{Var}(Y) + \mathbb{E}(Y)^2 = \frac{3d}{d^2(d+2)}.$

— user603
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@ NP-hard: sembra che tu abbia effettivamente fatto questa domanda per poter rispondere a questa domanda ? Perché non menzionarlo?

— Joriki,

@joriki Grazie. Aggiungerò il link alla domanda.