Correlazione tra seno e coseno

Supponiamo che $X$ sia uniformemente distribuito su $[0, 2\pi]$ . Lasciate $Y = \sin X$ e $Z = \cos X$ . Mostra che la correlazione tra $Y$ e $Z$ è zero.

Sembra che dovrei conoscere la deviazione standard del seno e del coseno e la loro covarianza. Come posso calcolarli?

Penso di dover supporre che $X$ abbia una distribuzione uniforme, e lo sguardo alle variabili trasformate $Y=\sin(X)$ e $Z=\cos(X)$ . Quindi la legge dello statistico inconscio darebbe il valore atteso

E [Y] = \frac{1}{b - a} \int_{- \infty}^{\infty} \sin (x) d x

$E[Y] = \frac{1}{b-a}\int_{-\infty}^{\infty} \sin(x)dx$ ed

E [Z] = \frac{1}{b - a} \int_{- \infty}^{\infty} \cos (x) d x

$E[Z] = \frac{1}{b-a}\int_{-\infty}^{\infty} \cos(x)dx$

(la densità è costante poiché è una distribuzione uniforme e può quindi essere spostata dall'integrale).

Tuttavia, tali integrali non sono definiti (ma credo che abbiano valori principali di Cauchy pari a zero).

Come potrei risolvere questo problema? Penso di conoscere la soluzione (la correlazione è zero perché seno e coseno hanno fasi opposte) ma non riesco a trovare come derivarla.

— uklady
fonte

Come affermato, il problema non è definito in modo adeguato. La correlazione è un concetto che si applica alle variabili casuali, non alle funzioni. (Formalmente, una variabile casuale è un tipo di funzione, vale a dire una funzione misurabile da uno spazio di probabilità ai numeri reali dotati della misura di Borel. Ma solo dire "la funzione seno" non ti dice nulla sulla misura di probabilità nella dominio, che è ciò che ti fornisce informazioni probabilistiche, comprese le distribuzioni congiunte.)

— Kodiologo

Se suppongo che il tempo sia una variabile casuale uniforme (

nel mio testo), non è possibile farlo? Voglio dire, guarderei quindi la correlazione di due variabili casuali trasformate.

X

$X$

— uklady,

Quindi vuoi

uniformemente distribuito e poi definisci

? Va bene, tranne per il fatto che è necessario specificare anche il supporto della densità di

, poiché non esiste una distribuzione uniforme sull'intero o qualsiasi altro intervallo infinitamente lungo.

X

$X$

Y = \sin X

$Y = \sin X$

Z = \cos X

$Z = \cos X$

X

$X$

ℝ

$ℝ$

— Kodiologo il

Forse potrei prendere come supporto (suppongo che , quindi l'intervallo contiene un ciclo completo). Suppongo che anche i problemi di integrazione svaniranno

[0, 2 * p i]

$[0, 2*pi]$

f = 1

$f=1$

— uklady il

Se lo fai, devi solo disegnare un diagramma a dispersione: non è necessaria l'integrazione. Quel grafico a dispersione è una distribuzione uniforme sul cerchio unitario (ovviamente). Poiché il cerchio è simmetrico sotto qualsiasi riflesso attraverso l'origine, la correlazione è uguale al suo negativo, da cui deve essere zero, QED .

— whuber

\begin{aligned} Cov (Y, Z) & = E [(Y - E [Y]) (Z - E [Z])] \\ = E [(Y - \int_{0}^{2 π} \sin x d x) (Z - \int_{0}^{2 π} \cos x d x)] \\ = E [(Y - 0) (Z - 0)] \\ = E [Y Z] \\ = \int_{0}^{2 π} \sin x \cos x d x \\ = 0, \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{Cov}(Y, Z) &= E[(Y - E[Y])(Z - E[Z])] \\ &= E[(Y - {\textstyle \int}_0^{2\pi} \sin x \;dx)(Z - {\textstyle \int}_0^{2\pi} \cos x \;dx)] \\ &= E[(Y - 0)(Z - 0)] \\ &= E[YZ] \\ &= \int_0^{2\pi} \sin x \cos x \;dx \\ &= 0 , \end{align}$

anche la correlazione deve essere 0.

— Kodiologist
fonte

Ho davvero come argomento dalla simmetria di @ whuber e non vuole che si perda come un commento, ecco un po 'di elaborazione.

Considera il vettore casuale , dove e , per . Quindi, poiché parametrizza il cerchio unitario per lunghezza dell'arco, viene distribuito uniformemente sul cerchio unitario. In particolare, la distribuzione di è uguale alla distribuzione di . Ma allora $(X, Y)$ $X = \cos(U)$ $Y = \sin(U)$ $U \sim U(0, 2 \pi)$ $\theta \mapsto (\cos(\theta), \sin(\theta))$ $(X, Y)$ $(-X, Y)$ $(X, Y)$

- Cov (X, Y) = Cov (- X, Y) = Cov (X, Y)

$- \text{Cov} (X, Y) = \text{Cov} (-X, Y) = \text{Cov} (X, Y)$

quindi deve essere che . $\text{Cov} (X, Y) = 0$

Solo un bellissimo argomento geometrico.

— Matthew Drury
fonte