Come facciamo a sapere che la probabilità di rotolare 1 e 2 è 1/18?

Fin dalla mia prima classe di probabilità mi sono chiesto quanto segue.

Il calcolo delle probabilità viene di solito introdotto attraverso il rapporto tra gli "eventi favoriti" e il totale degli eventi possibili. Nel caso di lanciare due dadi a 6 facce, la quantità di eventi possibili è $36$ , come mostrato nella tabella seguente.

$$\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|c|} \hline &1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 1 & (1,1) & (1,2) & (1,3) & (1,4) & (1,5) & (1,6) \\ \hline 2 & (2,1) & (2,2) & (2,3) & (2,4) & (2,5) & (2,6) \\ \hline 3 & (3,1) & (3,2) & (3,3) & (3,4) & (3,5) & (3,6) \\ \hline 4 & (4,1) & (4,2) & (4,3) & (4,4) & (4,5) & (4,6) \\ \hline 5 & (5,1) & (5,2) & (5,3) & (5,4) & (5,5) & (5,6) \\ \hline 6 & (6,1) & (6,2) & (6,3) & (6,4) & (6,5) & (6,6) \\ \hline \end{array}$$

Se quindi fossimo interessati a calcolare la probabilità dell'evento A "lanciando un e un 2 ", vedremmo che ci sono due "eventi favoriti" e calcoliamo la probabilità dell'evento come $1$$2$ .$\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$

Ora, ciò che mi ha sempre fatto meraviglia è: diciamo che sarebbe impossibile distinguere tra i due dadi e li osserveremmo solo dopo che erano stati lanciati, quindi ad esempio osserveremmo "Qualcuno mi dà una scatola. Apro la scatola. C'è un e un 2 ". In questo ipotetico scenario non saremmo in grado di distinguere tra i due dadi, quindi non sapremmo che ci sono due possibili eventi che portano a questa osservazione. Quindi i nostri possibili eventi vorrebbero che:$1$$2$

$$\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|} \hline (1,1) & (1,2) & (1,3) & (1,4) & (1,5) & (1,6) \\ \hline & (2,2) & (2,3) & (2,4) & (2,5) & (2,6) \\ \hline & & (3,3) & (3,4) & (3,5) & (3,6) \\ \hline & & & (4,4) & (4,5) & (4,6) \\ \hline & & & & (5,5) & (5,6) \\ \hline & & & & & (6,6) \\ \hline \end{array}$$

e calcoleremmo la probabilità dell'evento A come $\frac{1}{21}$ .

Ancora una volta, sono pienamente consapevole del fatto che il primo approccio ci porterà alla risposta corretta. La domanda che mi pongo è:

Come facciamo a sapere che è corretta?$\frac{1}{18}$

Le due risposte che ho trovato sono:

• Possiamo verificarlo empiricamente. Per quanto mi interessa, devo ammettere di non averlo fatto da solo. Ma credo che sarebbe il caso.
• In realtà possiamo distinguere tra i dadi, come se uno sia nero e l'altro blu, oppure lanciare uno prima dell'altro o semplicemente conoscere i possibili eventi e quindi tutte le teorie standard funzionano.$36$

Le mie domande sono:

• Quali altri motivi ci sono per farci sapere che è corretta? (Sono abbastanza sicuro che ci devono essere alcuni motivi (almeno tecnici) ed è per questo che ho pubblicato questa domanda)$\frac{1}{18}$
• C'è qualche argomento di base contro supporre che non possiamo affatto distinguere tra i dadi?
• Se assumiamo che non possiamo distinguere tra i dadi e non abbiamo modo di controllare empiricamente la probabilità, è anche corretto o ho trascurato qualcosa?$P(A) = \frac{1}{21}$

Grazie per aver dedicato del tempo a leggere la mia domanda e spero che sia abbastanza specifica.

Immagina di aver lanciato il tuo bel dado a sei facce e di aver ottenuto ⚀. Il risultato è stato così affascinante che hai chiamato il tuo amico Dave e gliel'hai detto. Dato che era curioso di sapere cosa avrebbe ottenuto lanciando il suo bel dado a sei facce, lo lanciò e ottenne ⚁.

Un dado standard ha sei facce. Se non stai imbrogliando, atterra su ogni lato con uguale probabilità, cioè su 6 volte. La probabilità che passi ⚀, lo stesso degli altri lati, è $1$$6$ . La probabilità che lanci ⚀e che iltuo amico lancia ⚁, è$\tfrac{1}{6}$ poiché i due eventi sonoindipendentie moltiplichiamo le probabilità indipendenti. Detto in modo diverso, ci sono36disposizioni di tali coppie che possono essere facilmente elencate (come hai già fatto). La probabilità dell'evento opposto (lanci ⚁ e il tuo amico lancia ⚀) è anche$\tfrac{1}{6} \times \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{36}$$36$ . Le probabilità che lanci ⚀e che iltuo amico lancia ⚁,oche lanci ⚁e che iltuo amico lancia ⚀, sonoesclusive, quindi le aggiungiamo$\tfrac{1}{36}$ . Tra tutte le possibili disposizioni, ce ne sono due che soddisfano questa condizione.$\tfrac{1}{36} + \tfrac{1}{36} = \tfrac{2}{36}$

Come facciamo a sapere tutto questo? Bene, per motivi di probabilità , combinatoria e logica, ma quei tre hanno bisogno di alcune conoscenze fattuali su cui fare affidamento. Sappiamo, sulla base dell'esperienza di migliaia di giocatori d'azzardo e di alcuni fisici, che non vi è motivo di credere che un dado a sei facce equo non abbia un'equilibrata possibilità di atterrare su ogni lato. Allo stesso modo, non abbiamo motivo di sospettare che due tiri indipendenti siano in qualche modo correlati e si influenzino a vicenda.

Puoi immaginare una scatola con i biglietti etichettati usando tutte le combinazioni (con ripetizione) di numeri da 1 a 6 . Ciò limiterebbe il numero di possibili esiti a 21 e cambierebbe le probabilità. Tuttavia, se pensi a una tale definizione in termini di dadi, allora dovresti immaginare due dadi che sono in qualche modo incollati insieme. Questo è qualcosa di molto diverso rispetto a due dadi che possono funzionare in modo indipendente e possono essere lanciati da soli atterrando su ogni lato con uguale probabilità senza influenzarsi a vicenda.$2$$1$$6$$21$

Detto questo, è necessario commentare che tali modelli sono possibili, ma non per cose come i dadi. Ad esempio, nella fisica delle particelle basata su osservazioni empiriche è emerso che la statistica di Bose-Einstein delle particelle non distinguibili (si veda anche il problema delle stelle e delle barre ) è più appropriata del modello delle particelle distinguibili. Puoi trovare alcune osservazioni su quei modelli in Probabilità o Probabilità tramite Expectation di Peter Whittle, o nel volume uno di Introduzione alla teoria della probabilità e alle sue applicazioni di William Feller.

Penso che stai trascurando il fatto che non importa se "noi" possiamo distinguere i dadi o no, ma piuttosto importa che i dadi sono unici e distinti e agiscono da soli.

Quindi, se nello scenario a scatola chiusa, apri la scatola e vedi un 1 e un 2, non sai se lo è $(1,2)$ o $(2,1)$, perché non puoi distinguere i dadi. Tuttavia, entrambi$(1,2)$ e $(2,1)$porterebbe allo stesso visual che vedi, ovvero 1 e 2. Quindi ci sono due risultati che favoriscono quel visual. Allo stesso modo per ogni coppia diversa dalla stessa, ci sono due risultati che favoriscono ogni elemento visivo, e quindi ci sono 36 possibili risultati.

Matematicamente, la formula per la probabilità di un evento è

$$\dfrac{\text{Number of outcomes for the event}}{\text{Number of total possible outcomes}}.$$

Tuttavia, questa formula vale solo quando ogni risultato è ugualmente probabile . Nella prima tabella, ciascuna di queste coppie è ugualmente probabile, quindi la formula vale. Nella tua seconda tabella, ogni risultato non è ugualmente probabile, quindi la formula non funziona. Il modo in cui trovi la risposta usando il tuo tavolo è

Probabilità di 1 e 2 = Probabilità di $(1,2)$ + Probabilità di $(2,1)$ = $\dfrac{1}{36} + \dfrac{1}{36} = \dfrac{1}{18}$.

Un altro modo di pensare a questo è che questo esperimento è lo stesso del lancio di ogni dado separatamente, dove puoi individuare Die 1 e Die 2. Pertanto, i risultati e le loro probabilità corrisponderanno all'esperimento a scatola chiusa.

Immaginiamo che il primo scenario implichi il lancio di un dado rosso e di un dado blu, mentre il secondo prevede il lancio di una coppia di dadi bianchi.

Nel primo caso, puoi annotare ogni possibile risultato come (dado rosso, dado blu), che ti dà questa tabella (riprodotta dalla tua domanda):

$$\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \frac{\textrm{Blue}}{\textrm{Red}}&1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 1 & (1,1) & \mathbf{(1,2)} & (1,3) & (1,4) & (1,5) & (1,6) \\ \hline 2 & \mathbf{(2,1)} & (2,2) & (2,3) & (2,4) & (2,5) & (2,6) \\ \hline 3 & (3,1) & (3,2) & (3,3) & (3,4) & (3,5) & (3,6) \\ \hline 4 & (4,1) & (4,2) & (4,3) & (4,4) & (4,5) & (4,6) \\ \hline 5 & (5,1) & (5,2) & (5,3) & (5,4) & (5,5) & (5,6) \\ \hline 6 & (6,1) & (6,2) & (6,3) & (6,4) & (6,5) & (6,6) \\ \hline \end{array}$$ Our idealized dice are fair (each outcome is equally likely) and you've listed every outcome. Based on this, you correctly conclude that a one and a two occurs with probability $\frac{2}{36}$, or $\frac{1}{18}.$ So far, so good.

Next, suppose you roll two identical dice instead. You've correctly listed all the possible outcomes, but you incorrectly assumed all of these outcomes are equally likely. In particular, the $(n,n)$ outcomes are half as likely as the other outcomes. Because of this, you cannot just calculate the probability by adding up the # of desired outcomes over the total number of outcomes. Instead, you need to weight each outcome by the probability of it occurring. If you run through the math, you'll find that it comes out the same--one doubly-likely event in the numerator out of 15 double-likely events and 6 singleton events.

The next question is "how could I know that the events aren't all equally likely?" One way to think about this is to imagine what would happen if you could distinguish the two dice. Perhaps you put a tiny mark on each die. This can't change the outcome, but it reduces the problem the previous one. Alternately, suppose you write the chart out so that instead of Blue/Red, it reads Left Die/Right Die.

As a further exercise, think about the difference between seeing an ordered outcome (red=1, blue=2) vs. an unordered one (one die showing 1, one die showing 2).

The key idea is that if you list the 36 possible outcomes of two distinguishable dice, you are listing equally probable outcomes. This is not obvious, or axiomatic; it's true only if your dice are fair and not somehow connected. If you list the outcomes of indistinguishable dice, they are not equally probable, because why should they be, any more than the outcomes "win the lottery" and "don't win the lottery" are equally probable.

To get to the conclusion, you need:

• We are working with fair dice, for which all six numbers are equally probable.
• The two dice are independent, so that the probability of die number two obtaining a particular number is always independent of what number die number one gave. (Imagine instead rolling the same die twice on a sticky surface of some kind that made the second roll come out different.)

Given those two facts about the situation, the rules of probability tell you that the probability of achieving any pair $(a,b)$ is the probability of achieving $a$ on the first die times that of achieving $b$ on the second. If you start lumping $(a,b)$ and $(b,a)$ together, then you don't have the simple independence of events to help you any more, so you can't just multiply probabilities. Instead, you have made a collection of mutually exclusive events (if $a \neq b$), so you can safely add the probabilities of getting $(a,b)$ and $(b,a)$ if they are different.

The idea that you can get probabilities by just counting possibilities relies on assumptions of equal probability and independence. These assumptions are rarely verified in reality but almost always in classroom problems.

If you translate this into terms of coins - say, flipping two indistinguishable pennies - it becomes a question of only three outcomes: 2 heads, 2 tails, 1 of each, and the problem is easier to spot. The same logic applies, and we see that it's more likely to get 1 of each than to get 2 heads or 2 tails.

That's the slipperiness of your second table - it represents all possible outcomes, even though they are not all equally weighted probabilities, as in the first table. It would be ill-defined to try to spell out what each row and column in the second table means - they're only meaningful in the combined table where each outcome has 1 box, regardless of likelihood, whereas the first table displays "all the equally likely outcomes of die 1, each having its own row," and similarly for columns and die 2.

Let's start by stating the assumption: indistinguishable dice only roll 21 possible outcomes, while distinguishable dice roll 36 possible outcomes.

To test the difference, get a pair of identical white dice. Coat one in a UV-absorbent material like sunscreen, which is invisible to the naked eye. The dice still appear indistinguishable until you look at them under a black light, when the coated die appears black while the clean die glows.

Conceal the pair of dice in a box and shake it. What are the odds you'll get a 2 and a 1 when you open the box? Intuitively you might think "rolling a 1 and a 2" is just 1 of 21 possible outcomes because you can't tell the dice apart. But if you open the box under a black light, you can tell them apart. When you can tell the dice apart, "rolling a 1 and a 2" is 2 of 36 possible combinations.

Does that mean a black light has the power to change the probability of obtaining a certain outcome, even if the dice are only exposed to the light and observed after they've been rolled? Of course not. Nothing changes the dice after you stop shaking the box. The probability of a given outcome can't change.

Since the original assumption depends on a change that doesn't exist, it's reasonable to conclude that the original assumption was incorrect. But what about the original assumption is incorrect - that indistinguishable dice only roll 21 possible outcomes, or that distinguishable dice roll 36 possible outcomes?

Clearly the black light experiment demonstrated that observation has no impact on probability (at least on this scale - quantum probability is a different matter) or the distinctness of objects. The term "indistinguishable" merely describes something which observation cannot differentiate from something else. In other words, the fact that the dice appear the same under some circumstances (i.e. that they aren't under a black light) and not others has no bear on the fact that they are truly two distinct objects. This would be true even if the circumstances under which you're able to distinguish between them are never discovered.

In short: your ability to distinguish between the dice being rolled is irrelevant when analyzing the probability of a particular outcome. Each die is inherently distinct. All outcomes are based on this fact, not on an observer's point of view.

We can deduce that your second table does not represent the scenario accurately.

You have eliminated all the cells below and left of the diagonal, on the supposed basis that (1, 2) and (2, 1) are congruent and therefore redundant outcomes.

Instead suppose that you roll one die twice in a row. Is it valid to count 1-then-2 as an identical outcome as 2-then-1? Clearly not. Even though the second roll outcome does not depend on the first, they are still distinct outcomes. You cannot eliminate rearrangements as duplicates. Now, rolling two dice at once is the same for this purpose as rolling one die twice in a row. You therefore cannot eliminate rearrangements.

(Still not convinced? Here is an analogy of sorts. You walk from your house to the top of the mountain. Tomorrow you walk back. Was there any point in time on both days when you were at the same place? Maybe? Now imagine you walk from your house to the top of the mountain, and on the same day another person walks from the top of the mountain to your house. Is there any time that day when you meet? Obviously yes. They are the same question. Transposition in time of untangled events does not change deductions that can be made from those events.)

If we just observe "Somebody gives me a box. I open the box. There is a $1$ and a $2$", without further information, we don't know anything about the probability.

If we know that the two dice are fair and that they have been rolled, then the probability is 1/18 as all other answer have explained. The fact we don't know if the die with 1 o the die with 2 was rolled first doesn't matter, because we must account for both ways - and therefore the probability is 1/18 instead of 1/36.

But if we don't know which process led to having the 1-2 combination, we can't know anything about the probability. Maybe the person who handed us the box just purposely chose this combination and stuck the dice to the box (probability=1), or maybe he shacked the box rolling the dice (probability=1/18) or he might have chosen at random one combination from the 21 combinations in the table you gave us in the question, and therefore probability=1/21.

In summary, we know the probability because we know what process lead to the final situation, and we can compute probability for each stage (probability for each dice). The process matters, even if we haven't seen it taking place.

To end the answer, I'll give a couple of examples where the process matters a lot:

• We flip ten coins. What's the probability getting heads all of ten times? You can see that the probability (1/1024) is a lot smaller than the probability of getting a 10 if we just choose a random number between 0 and 10 (1/11).
• If you have enjoyed this problem, you can try with the Monty Hall problem. It's a similar problem where the process matters much more than what our intuition would expect.

The probability of event A and B is calculated by multiplying both probabilities.

The probability of rolling a 1 when there are six possible options is 1/6. The probability of rolling a 2 when there are six possible options is 1/6.

1/6 * 1/6 = 1/36.

However, the event is not contingent on time (in other words, it is not required that we roll a 1 before a 2; only that we roll both a 1 and 2 in two rolls).

Thus, I could roll a 1 and then 2 and satisfy the condition of rolling both 1 and 2, or I could roll a 2 and then 1 and satisfy the condition of rolling both 1 and 2.

The probability of rolling 2 and then 1 has the same calculation:

1/6 * 1/6 = 1/36.

The probability of either A or B is the sum of the probabilities. So let's say event A is rolling 1 then 2, and event B is rolling 2 then 1.

Probability of Event A: 1/36 Probability of Event B: 1/36

1/36 + 1/36 = 2/36 which reduces to 1/18.