Distribuzione della forma quadratica delle normali

Sto cercando di capire la distribuzione di dove , lo so, prendendo ciascuno dei termini separatamente, e Ma non sono sicuro della distribuzione di (*)

(n - 1) \sum_{i = 1}^{n} Z_{i}^{2} - {(\sum_{i = 1}^{n} Z_{i})}^{2} (*)

$(n-1) \sum_{i=1}^n Z_i^2 - \left( \sum_{i=1}^n Z_i \right)^2 \qquad (*)$

Z_{i} \sim N (0, 1)

$Z_i \sim \mathcal{N}(0,1)$

\sum_{i = 1}^{n} Z_{i}^{2} \sim χ^{2} (n)

$\sum_{i=1}^n Z_i^2 \sim \chi^2(n)$

\frac{1}{n} {(\sum_{i = 1}^{n} Z_{i})}^{2} \sim χ^{2} (1) .

$\frac{1}{n}\left( \sum_{i=1}^n Z_i \right)^2 \sim \chi^2(1).$

probability distributions normal-distribution

— Zailei Chen
fonte

Benvenuti nel nostro sito! È una domanda di un corso o di un libro di testo? In tal caso, aggiungi il [self-study]tag e leggi la sua wiki . Altrimenti sarebbe interessante sapere in quale contesto si è presentato questo problema. Grazie per averci mostrato cosa hai fatto e dove sei bloccato

— Silverfish

@Silverfish No, questo è solo qualcosa che sto cercando di capire. Ho distillato il problema fino a questa semplice domanda; il mio problema originale è un po 'più complicato, temo! Quindi, ho provato a chiedere solo la parte su cui ho davvero bisogno di aiuto. Ma, se questo sembra un problema da manuale, sarei molto interessato a imparare da quale testo, sperando che fornisca le informazioni pertinenti :)

— Zailei Chen,

Sembra ragionevole! Inoltre, grazie per l'utilizzo della composizione in lattice, apprezziamo sempre lo sforzo

— Silverfish,

Ecco un tentativo :

$Z=X-Y$ $X \sim \chi^2(\alpha)$ $Y \sim \chi^2(\beta)$ $\alpha \geq \beta$

M_{X} (t) = {(1 - 2 t)}^{- α / 2}

$\mathcal{M}_X(t) = \left(1-2 \, t\right)^{-\alpha/2}$

M_{Y} (t) = {(1 - 2 t)}^{- β / 2}

$\mathcal{M}_Y(t) = \left(1-2 \, t\right)^{-\beta/2}$

M_{Z} (t) = M_{X} (t) M_{Y} (- t) = {(1 - 2 t)}^{- α / 2} {(1 + 2 t)}^{- β / 2} = (1 - 4 t^{2})^{- β / 2}

$\mathcal{M}_Z(t) = M_X(t)M_Y(-t) = \left(1-2 \, t\right)^{-\alpha/2}\left(1+2 \, t\right)^{-\beta/2} = (1-4t^2)^{-\beta/2}$

M_{Z} (t) = (1 - 2 t)^{- n / 2} (1 + 2 t)^{- 1 / 2} = (1 - 4 t^{2})^{- 1 / 2} (1 - 2 t)^{- (n - 1) / 2}

$\mathcal{M}_Z(t) = (1-2t)^{-n/2}(1+2t)^{-1/2} = (1-4t^2)^{-1/2} (1-2t)^{-(n-1)/2}$

Non sono sicuro che possa essere ridotto a un MGF immaginabile.

— rightskewed
fonte

Qualche discussione su una situazione leggermente più generale appare su stats.stackexchange.com/questions/72479 , con un riferimento a un documento che offre un'approssimazione.

— whuber