Variabili casuali per le quali le disuguaglianze di Markov e Chebyshev sono strette

Sono interessato a costruire variabili casuali per le quali le disuguaglianze di Markov o Chebyshev sono strette.

Un esempio banale è la seguente variabile casuale.

$P(X=1)=P(X=-1) = 0.5$ . La sua media è zero, la varianza è 1 e . Per questo variabile casuale chebyshev è stretto (vale con l'uguaglianza).$P(|X| \ge 1) = 1$

$$P(|X|\ge 1) \le \frac{\text{Var}(X)}{1^2} = 1$$

Ci sono variabili casuali più interessanti (non uniformi) per le quali Markov e Chebyshev sono stretti? Alcuni esempi sarebbero fantastici.

La classe di distribuzioni per cui vale il caso limite del limite di Chebyshev è ben nota (e non è così difficile da indovinare). È normalizzato per posizione e scala

$$Z=\begin{cases}-k,&{\text{with probability }}{\:\frac {1}{2k^2}}\\\:0,&{\text{with probability }}1-\frac {1}{k^2}\\\:k,&{\text{with probability }}{\:\frac {1}{2k^2}}\end{cases}$$

Questa è (su larga scala) la soluzione fornita nella pagina di Wikipedia per la disuguaglianza di Chebyshev .

[È possibile scrivere una sequenza di distribuzioni (posizionando più probabilità al centro con lo stesso rimosso uniformemente dagli endpoint) che soddisfino rigorosamente la disuguaglianza e si avvicinino a quel caso limitante quanto desiderato.]$\epsilon>0$

Qualsiasi altra soluzione può essere ottenuto posizione e la scala turni di questo: Let .$X=\mu+\sigma Z$

Per la disuguaglianza di Markov, lasciaquindi hai probabilità a 0 e a . (Qui è possibile introdurre un parametro di scala ma non un parametro di posizione)1 - 1 / k 2 1 / k 2$Y=|Z|$$1-1/k^2$$1/k^2$$k$

Disuguaglianze momentanee - e in effetti molte altre disuguaglianze simili - tendono ad avere distribuzioni discrete come casi limitanti.

Credo che ottenere una distribuzione continua sull'intero asse reale che segue esattamente il limite di Chebyshev possa essere impossibile.

Supponi che la media e la deviazione standard di una distribuzione continua siano 0 e 1, oppure fallo tramite il riscalaggio. Quindi richiede . Per semplicità considera ; i valori negativi saranno definiti simmetricamente. Quindi il CDF della distribuzione è . E così il pdf, la derivata del cdf, è . Ovviamente questo deve essere definito solo per causa della discontinuità. In realtà, questo non può nemmeno essere vero ovunque, o l'integrale del pdf non è finito. Invece, se si devono evitare discontinuità (ad esempio il gatto pdf deve essere solo 0 per ) il pdf deve essere a tratti, uguale a per$P(\mid X\mid >x)=1/x^2$$x>0$$1-1/x^2$$2/x^3$$x>0$$\mid x \mid <\alpha$$\mid x \mid^3$$\mid x\mid \geq \alpha$ .

Tuttavia, questa distribuzione fallisce l'ipotesi - non ha una varianza finita. Per ottenere una distribuzione continua sull'asse reale con una varianza finita, i valori previsti di e devono essere finiti. Esaminando i polinomi inversi, le code che vanno come portano a una finita , ma a una indefinita perché ciò implica un integrale con comportamento asintoticamente logaritmico.$x$$x^2$$x^{-3}$$E[x]$$E[x^2]$

$P(\mid X \mid > x ) = x^{-(2+\epsilon)}$$\epsilon$$x^{-(3+\epsilon)}$$1/\epsilon$

Se sei disposto a lasciare che la distribuzione viva solo su una parte della linea reale, ma sia comunque continua, allora definisci per funziona per $pdf(x) = 2/\mid x \mid^3$ϵ = $\epsilon < \mid x \mid < \Lambda$

$$\epsilon = \sqrt{2 \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{e}} \right) }$$ $$\Lambda = \epsilon = \sqrt{2 \left( \sqrt{e} - 1 \right) }$$ $0.887 < |x| < 1.39$