Mean = mode non implica simmetria.
Anche se mean = median = mode non hai ancora necessariamente simmetria.
E in previsione del potenziale follow-up - anche se mean = median = mode e il terzo momento centrale è zero (quindi l'asimmetria del momento è 0), non hai ancora necessariamente simmetria.
... ma c'è stato un seguito a quello. NickT ha chiesto nei commenti se avere tutti i momenti dispari zero fosse sufficiente per richiedere la simmetria. La risposta è anche no. [Vedi la discussione alla fine. ]†
Queste varie cose sono tutte implicate dalla simmetria (supponendo che i momenti rilevanti siano limitati) ma le implicazioni non vanno diversamente - malgrado molti testi elementari che dicano chiaramente diversamente su uno o più di essi.
I controesempi sono piuttosto banali da costruire.
Considera la seguente distribuzione discreta:
x -4 0 1 5
P(X=x) 0.2 0.4 0.3 0.1
Ha media, mediana, modalità e terzo momento centrale (e quindi asimmetria del momento) tutti 0 ma è asimmetrico.
Questo tipo di esempio può essere fatto anche con una distribuzione puramente continua. Ad esempio, ecco una densità con le stesse proprietà:
Questa è una miscela di densità triangolari simmetriche (ciascuna con intervallo 2) con mezzi a -6, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 5 e pesi della miscela 0,08, 0,08, 0,12, 0,08, 0,28, 0,08 , 0,08, 0,20 rispettivamente. Il fatto che l'ho appena fatto ora - non l'ho mai visto prima - suggerisce quanto siano semplici da costruire questi casi.
[Ho scelto i componenti della miscela triangolare in modo che la modalità fosse visivamente inequivocabile: avrebbe potuto essere utilizzata una distribuzione più fluida.]
Ecco un ulteriore esempio discreto per rispondere alle domande di Hong Ooi su quanto lontano dalla simmetria queste condizioni ti consentano di ottenere. Questo non è affatto un caso limitante, sta solo illustrando che è semplice fare un esempio meno simmetrico:
x -2 0 1 6
P(X=x) 0.175 0.5 0.32 0.005
Il picco a 0 può essere reso relativamente più alto o più basso senza cambiare le condizioni; allo stesso modo il punto a destra può essere posizionato più lontano (con una riduzione della probabilità) senza cambiare di molto le altezze relative a 1 e -2 (cioè la loro probabilità relativa rimarrà vicino al rapporto 2: 1 mentre vi spostate più a destra elemento circa).
Maggiori dettagli sulla risposta alla domanda di NickT
† Il caso zero per tutti i momenti dispari è affrontato in una serie di domande sul sito. C'è un esempio qui (vedi la trama) basato sui dettagli qui (vedi verso la fine della risposta). Questa è una densità asimmetrica unimodale continua con tutti i momenti dispari 0 e media = mediana = modalità. La mediana è 0 per la costruzione della miscela 50-50, la modalità è 0 per ispezione: tutti i membri della famiglia sulla semiretta reale da cui è costruito l'esempio hanno una densità che è monotona decrescente da un valore finito all'origine e la media è zero perché tutti i momenti dispari sono 0.