Mean = mode implica una distribuzione simmetrica?

So che questa domanda è stata posta con il caso mean = median, ma non ho trovato nulla di correlato a mean = mode.

Se la modalità è uguale alla media, posso sempre concludere che si tratta di una distribuzione simmetrica? Sarò costretto a conoscere anche la mediana per questo modo?

Mean = mode non implica simmetria.

Anche se mean = median = mode non hai ancora necessariamente simmetria.

E in previsione del potenziale follow-up - anche se mean = median = mode e il terzo momento centrale è zero (quindi l'asimmetria del momento è 0), non hai ancora necessariamente simmetria.

... ma c'è stato un seguito a quello. NickT ha chiesto nei commenti se avere tutti i momenti dispari zero fosse sufficiente per richiedere la simmetria. La risposta è anche no. [Vedi la discussione alla fine. ]$^\dagger$

Queste varie cose sono tutte implicate dalla simmetria (supponendo che i momenti rilevanti siano limitati) ma le implicazioni non vanno diversamente - malgrado molti testi elementari che dicano chiaramente diversamente su uno o più di essi.

I controesempi sono piuttosto banali da costruire.

Considera la seguente distribuzione discreta:

  x     -4    0    1    5
P(X=x)  0.2  0.4  0.3  0.1

Ha media, mediana, modalità e terzo momento centrale (e quindi asimmetria del momento) tutti 0 ma è asimmetrico.

Questo tipo di esempio può essere fatto anche con una distribuzione puramente continua. Ad esempio, ecco una densità con le stesse proprietà:

Questa è una miscela di densità triangolari simmetriche (ciascuna con intervallo 2) con mezzi a -6, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 5 e pesi della miscela 0,08, 0,08, 0,12, 0,08, 0,28, 0,08 , 0,08, 0,20 rispettivamente. Il fatto che l'ho appena fatto ora - non l'ho mai visto prima - suggerisce quanto siano semplici da costruire questi casi.

[Ho scelto i componenti della miscela triangolare in modo che la modalità fosse visivamente inequivocabile: avrebbe potuto essere utilizzata una distribuzione più fluida.]

Ecco un ulteriore esempio discreto per rispondere alle domande di Hong Ooi su quanto lontano dalla simmetria queste condizioni ti consentano di ottenere. Questo non è affatto un caso limitante, sta solo illustrando che è semplice fare un esempio meno simmetrico:

   x    -2    0    1    6
P(X=x) 0.175 0.5  0.32 0.005

Il picco a 0 può essere reso relativamente più alto o più basso senza cambiare le condizioni; allo stesso modo il punto a destra può essere posizionato più lontano (con una riduzione della probabilità) senza cambiare di molto le altezze relative a 1 e -2 (cioè la loro probabilità relativa rimarrà vicino al rapporto 2: 1 mentre vi spostate più a destra elemento circa).

Maggiori dettagli sulla risposta alla domanda di NickT

$\dagger$ Il caso zero per tutti i momenti dispari è affrontato in una serie di domande sul sito. C'è un esempio qui (vedi la trama) basato sui dettagli qui (vedi verso la fine della risposta). Questa è una densità asimmetrica unimodale continua con tutti i momenti dispari 0 e media = mediana = modalità. La mediana è 0 per la costruzione della miscela 50-50, la modalità è 0 per ispezione: tutti i membri della famiglia sulla semiretta reale da cui è costruito l'esempio hanno una densità che è monotona decrescente da un valore finito all'origine e la media è zero perché tutti i momenti dispari sono 0.

Non definirei tale distribuzione simmetrica.

No.

$X$$p(X = -2) = \tfrac{1}{6}$$p(X = 0) = \tfrac{1}{2}$$p(X = 1) = \tfrac{1}{3}$$X$

Per ripetere una risposta che ho dato altrove , ma si adatta anche qui:

che non solo ha media, mediana e modalità tutte uguali, ma ha anche zero asimmetria. Molte altre versioni sono possibili.