Qual è la distribuzione dei mezzi di campionamento di una distribuzione di Cauchy?

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In genere quando si prendono medie campionarie casuali di una distribuzione (con dimensioni del campione superiori a 30) si ottiene una normale distribuzione centrata attorno al valore medio. Tuttavia, ho sentito che la distribuzione di Cauchy non ha valore medio. Quale distribuzione si ottiene allora quando si ottengono mezzi di campionamento della distribuzione di Cauchy?

Fondamentalmente per una distribuzione di Cauchy non è definito, quindi cos'è e qual è la distribuzione di ? $\mu_x$ $\mu_{\bar{x}}$ $\bar{x}$

cauchy

— Steven Stewart-Gallus
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Dalla pagina di Wikipedia , sembra che la media campionaria delle variabili di Cauchy avrebbe la stessa distribuzione dei campioni stessi.

— GeoMatt22,

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Se sono iid in Cauchy allora possiamo mostrare che è anche Cauchy usando un argomento della funzione caratteristica: $X_1, \ldots, X_n$ $(0, 1)$ $\bar{X}$ $(0, 1)$

\begin{aligned} φ_{\bar{X}} (t) & = E (e^{io t \bar{X}}) \\ = E (Π_{j = 1}^{n} e^{io t X_{j} / n}) \\ = Π_{j = 1}^{n} E (e^{io t X_{j} / n}) \\ = E {(e^{io t X_{1} / n})}^{n} \\ = e^{- | t |} \end{aligned}

$\begin{align} \varphi_{\bar{X}}(t) &= \text{E} \left (e^{it \bar{X}} \right ) \\ &= \text{E} \left ( \prod_{j=1}^{n} e^{it X_j / n} \right ) \\ &= \prod_{j=1}^{n} \text{E} \left ( e^{it X_j / n} \right ) \\ &= \text{E} \left (e^{it X_1 / n} \right )^n \\ &= e^{- |t|} \end{align}$

che è la funzione caratteristica della distribuzione standard di Cauchy. La dimostrazione del caso più generale di Cauchy è sostanzialmente identica. $(\mu, \sigma)$

— dsaxton
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Per aiutare coloro che potrebbero avere problemi a collegare alcuni dei dettagli, il passaggio dalla seconda alla terza linea utilizza l'indipendenza, il successivo utilizza "distribuito in modo identico", il successivo può essere fatto in diversi modi, ma il più semplice è vedere che l'attesa all'interno del potere è lo stesso integrale di quella per un Cauchy cf ma in , quindi (se conosci già il cf per un Cauchy) ottieni e poi portando il esima potenza le termini annullano.

t / n

$t/n$

[e^{- | t / n |}]^{n}

$[e^{-|t/n|}]^n$

n

$n$

n

$n$

— Glen_b -Restate Monica

Mi è piaciuto che l'altra risposta spiegasse anche che ciò significa che è una distribuzione stabile .

— Apollys supporta Monica il

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In genere quando si prendono medie campionarie casuali di una distribuzione (con dimensioni del campione superiori a 30) si ottiene una normale distribuzione centrata attorno al valore medio.

Non esattamente. Stai pensando al teorema del limite centrale, che afferma che data una sequenza di variabili casuali IID con varianza finita (che a sua volta implica una media finita ), l'espressione converge nella distribuzione in una distribuzione normale mentre va all'infinito. Non vi è alcuna garanzia che la media campionaria di qualsiasi sottoinsieme finito delle variabili sia normalmente distribuita. $X_n$ $μ$ $\sqrt{n}[(X_1 + X_2 + \cdots + X_n)/n - μ]$ $n$

Tuttavia, ho sentito che la distribuzione di Cauchy non ha valore medio. Quale distribuzione si ottiene allora quando si ottengono mezzi di campionamento della distribuzione di Cauchy?

Come ha detto GeoMatt22, i mezzi di esempio saranno essi stessi distribuiti da Cauchy. In altre parole, la distribuzione di Cauchy è una distribuzione stabile .

Si noti che il teorema del limite centrale non si applica alle variabili casuali distribuite di Cauchy perché non hanno media e varianza finite.

— Kodiologist
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Il mio commento doveva essere un po 'più forte di "la media del campione è anche Cauchy", perché la media del campione avrà gli stessi parametri . Cioè, come per una distribuzione normale, il parametro location sarà lo stesso, ma a differenza del caso normale, anche il parametro scale sarà lo stesso (mentre per il caso normale, la scala diminuisce di ) . Almeno, questa è la mia interpretazione delle prime 2 proprietà di trasformazione elencate nel mio link.

1 / \sqrt{N}

$1/\sqrt{N}$

— GeoMatt22,

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Hai detto: " la media campionaria dei primi n elementi converge nella distribuzione a una distribuzione normale mentre n va all'infinito " ... non esattamente. In condizioni più deboli di quelle necessarie per il CLT, la media stessa converge alla costante (in base alla legge debole di grandi numeri). Devi standardizzare la media per ottenere la convergenza a una distribuzione normale.

μ

$\mu$

— Glen_b -Restate Monica

@DilipSarwate corretto. Non dimenticare che puoi modificare le risposte degli altri.

— Kodiologo,