Derivazione del cambiamento di variabili di una funzione di densità di probabilità?


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Nel libro riconoscimento del modello e apprendimento automatico (formula 1.27), fornisce

py(y)=px(x)|dxdy|=px(g(y))|g(y)|
dovex=g(y),px(x)è il pdf che corrisponde apy(y)rispetto alla modifica della variabile.

Il libro dice che le osservazioni che rientrano nell'intervallo , per piccoli valori di δ x , verranno trasformate nell'intervallo ( y , y + δ y )(x,x+δx)δx(y,y+δy) .

Come viene derivato formalmente?


Aggiornamento da Dilip Sarwate

Il risultato vale solo se è una funzione crescente o decrescente strettamente monotona.g


Alcune modifiche minori alla risposta di Ra Rao Pertanto se g

P(Yy)=P(g(X)y)={P(Xg1(y)),if g is monotonically increasingP(Xg1(y)),if g is monotonically decreasing
gsta aumentando monotonicamente f Y ( y ) = f X ( g - 1 ( y ) ) d
FY(y)=FX(g1(y))
se monotonicamente decrescente FY(y)=1-FX(g-1(y))fY(y)=-fX(g-1(y))d
fY(y)=fX(g1(y))ddyg1(y)
FY(y)=1FX(g1(y))
fY(y)=fX(g1(y))ddyg1(y)
fY(y)=fX(g1(y))|ddyg1(y)|

1
gg

La spiegazione del tuo libro ricorda quella che ho offerto a stats.stackexchange.com/a/14490/919 . Ho anche pubblicato un metodo algebrico generale su stats.stackexchange.com/a/101298/919 e una spiegazione geometrica su stats.stackexchange.com/a/4223/919 .
whuber

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@DilipSarwate grazie per la tua spiegazione, penso di aver capito l'intuizione, ma sono più interessato a come può essere derivato usando le regole e i teoremi esistenti :)
dontloo,

Risposte:


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XpdfY=g(X)pdfY

P(Yy)=P(g(X)y)=P(Xg1(y))orFY(y)=FX(g1(y)),by the definition of CDF
yYY
fY(y)=fX(g1(y))ddyg1(y)
Y
fY(y)=fX(g1(y))ddyg1(y)
fY(y)=fX(g1(y))|ddyg1(y)|

But as the integral over fx must sum to 1 and fy is a scaled version of fx, doesn't that mean fy is not a proper pdf, unless the jacobian in the abs() is 1 or -1?
Chris

@Chris The Jacobian of g1 is not necessarily a constant function, so it can be >1 in some places and <1 in others.
Yatharth Agarwal
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