Derivazione del cambiamento di variabili di una funzione di densità di probabilità?

Nel libro riconoscimento del modello e apprendimento automatico (formula 1.27), fornisce

$$p_y(y)=p_x(x) \left | \frac{d x}{d y} \right |=p_x(g(y)) | g'(y) |$$ dove$x=g(y)$,$p_x(x)$è il pdf che corrisponde a$p_y(y)$rispetto alla modifica della variabile.

Il libro dice che le osservazioni che rientrano nell'intervallo , per piccoli valori di δ x , verranno trasformate nell'intervallo ( y , y + δ y $(x, x + \delta x)$$\delta x$$(y, y + \delta y)$ .

Come viene derivato formalmente?

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Aggiornamento da Dilip Sarwate

Il risultato vale solo se è una funzione crescente o decrescente strettamente monotona.$g$

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Alcune modifiche minori alla risposta di Ra Rao Pertanto se

$$\begin{equation} P(Y\le y) = P(g(X)\le y)= \begin{cases} P(X\le g^{-1}(y)), & \text{if}\ g \text{ is monotonically increasing} \\ P(X\ge g^{-1}(y)), & \text{if}\ g \text{ is monotonically decreasing} \end{cases} \end{equation}$$ $g$sta aumentando monotonicamente f Y ( y ) = f X ( g - 1 ( y ) ) ⋅ $$F_{Y}(y)=F_{X}(g^{-1}(y))$$ se monotonicamente decrescente FY(y)=1-FX(g-1(y))fY(y)=-fX(g-1(y))⋅ $$f_{Y}(y)= f_{X}(g^{-1}(y))\cdot \frac{d}{dy}g^{-1}(y)$$ $$F_{Y}(y)=1-F_{X}(g^{-1}(y))$$ $$f_{Y}(y)=- f_{X}(g^{-1}(y))\cdot \frac{d}{dy}g^{-1}(y)$$ $$\therefore f_{Y}(y) = f_{X}(g^{-1}(y)) \cdot \left | \frac{d}{dy}g^{-1}(y) \right |$$

$X$pdf$Y=g(X)$pdf$Y$

$$\begin{eqnarray*} P(Y\le y) &=& P(g(X)\le y)\\ &=& P(X\le g^{-1}(y))\\ or\;\;F_{Y}(y)&=& F_{X}(g^{-1}(y)),\quad \mbox{by the definition of CDF}\\ \end{eqnarray*}$$ $y$$Y$$Y$ $$\begin{equation*} f_{Y}(y)= f_{X}(g^{-1}(y))\cdot \frac{d}{dy}g^{-1}(y) \end{equation*}$$ $Y$ $$\begin{equation*} f_{Y}(y)= - f_{X}(g^{-1}(y))\cdot \frac{d}{dy}g^{-1}(y) \end{equation*}$$ $$\begin{equation*} \therefore f_{Y}(y) = f_{X}(g^{-1}(y))\cdot |\frac{d}{dy}g^{-1}(y)| \end{equation*}$$