Come si dovrebbe approvare il problema del Project Euler 213 ("Flea Circus")?

Vorrei risolvere il Progetto Euler 213 ma non so da dove cominciare perché sono un laico nel campo della Statistica, nota che è necessaria una risposta accurata, quindi il metodo Monte Carlo non funzionerà. Potresti consigliarmi alcuni argomenti statistici su cui leggere? Si prega di non pubblicare la soluzione qui.

Circo delle pulci

Una griglia di quadrati 30 × 30 contiene 900 pulci, inizialmente una pulce per quadrato. Quando viene suonata una campana, ogni pulce salta a casaccio in un quadrato adiacente (di solito 4 possibilità, ad eccezione delle pulci sul bordo della griglia o agli angoli).

Qual è il numero previsto di quadrati non occupati dopo 50 squilli della campana? Dai la tua risposta arrotondata al primo decimale.

Hai ragione; Monte Carlo è impraticabile. (In una simulazione ingenua - ovvero quella che riproduce esattamente la situazione del problema senza alcuna semplificazione - ogni iterazione comporterebbe 900 movimenti delle pulci. Una stima approssimativa della percentuale di celle vuote è , implicando la varianza del Monte -Carlo stima dopo tali iterazioni è approssimativamente Per fissare la risposta a sei cifre decimali, è necessario stimarla entro 5. -7 e, per ottenere una sicurezza del 95 +% (diciamo), dovresti dimezzare approssimativamente quella precisione a 2,5E-7. Risolvere dàN 1 / N 1 / e ( 1 - 1 / e ) = 0,2325 … / N $1/e$$N$$1/N 1/e (1 - 1/e) = 0.2325\ldots /N$N>4E$\sqrt(0.2325/N) \lt 2.5E-7$$N > 4E12$, circa. Sarebbe circa 3,6 mosse di pulce 3.6E15, ognuna con diverse zecche di CPU. Con una CPU moderna disponibile avrai bisogno di un anno intero di elaborazione (altamente efficiente). E ho ipotizzato in modo un po 'errato e eccessivamente ottimistico che la risposta sia data come una proporzione anziché come un conteggio: come conteggio, avrà bisogno di tre cifre più significative, comportando un aumento di un milione di volte nel calcolo ... Riesci ad aspettare a lungo?)

Per quanto riguarda una soluzione analitica, sono disponibili alcune semplificazioni. (Questi possono essere usati anche per abbreviare un calcolo di Monte Carlo.) Il numero atteso di celle vuote è la somma delle probabilità di vuoto su tutte le celle. Per trovare questo, è possibile calcolare la distribuzione di probabilità dei numeri di occupazione di ciascuna cella. Tali distribuzioni si ottengono sommando i contributi (indipendenti!) Di ciascuna pulce. Ciò riduce il problema nel trovare il numero di percorsi di lunghezza 50 lungo una griglia 30 per 30 tra una data coppia di celle su quella griglia (una è l'origine della pulce e l'altra è una cella per la quale si desidera calcolare la probabilità del occupazione delle pulci).

Non potresti iterare attraverso le probabilità di occupazione delle cellule per ogni pulce. Cioè, la pulce k è inizialmente nella cella (i (k), j (k)) con probabilità 1. Dopo 1 iterazione, ha probabilità 1/4 in ciascuna delle 4 celle adiacenti (supponendo che non sia su un bordo o in un angolo). Quindi alla successiva iterazione, ciascuno di questi trimestri viene "spalmato" a sua volta. Dopo 50 iterazioni hai una matrice di probabilità di occupazione per le pulci. Ripeti oltre tutte le 900 pulci (se approfitti delle simmetrie questo si riduce di quasi un fattore 8) e aggiungi le probabilità (non è necessario memorizzarle tutte in una volta, solo la matrice della pulce corrente (hmm, a meno che tu non sia molto intelligente, potresti desiderare una matrice di lavoro aggiuntiva) e l'attuale somma delle matrici). Mi sembra che ci siano molti modi per accelerare questo qua e là.

Ciò non implica alcuna simulazione. Tuttavia, comporta parecchi calcoli; non dovrebbe essere molto difficile determinare la dimensione della simulazione richiesta per dare risposte con una precisione leggermente superiore a 6 dp con alta probabilità e capire quale approccio sarà più veloce. Mi aspetto che questo approccio batterebbe la simulazione di un certo margine.

Sebbene non mi opponga all'impossibilità pratica (o impraticabilità) di una risoluzione Monte Carlo di questo problema con una precisione di 6 decimali evidenziata da whuber , penso che sia possibile ottenere una risoluzione con sei cifre di accuratezza.

In primo luogo, seguendo Glen_b , le particelle sono scambiabili in un regime stazionario, quindi è sufficiente (come in sufficienza ) monitorare l'occupazione delle diverse cellule, poiché anche questo costituisce un processo di Markov. La distribuzione delle occupazioni al successivo passaggio è completata determinata dalle occupazioni al momento attuale . Scrivere la matrice di transizione è decisamente impraticabile, ma simulare la transizione è semplice.t $t+1$$t$$K$

Secondo, come notato da shabbychef , si può seguire il processo di occupazione sui 450 quadrati dispari (o pari), che rimangono sui quadrati dispari se si considerano solo i tempi pari, cioè la matrice quadrata di Markov .$K^2$

In terzo luogo, il problema originale considera solo la frequenza di zero occupazioni, , dopo transizioni di Markov. Dato che il punto di partenza ha un valore molto elevato per la distribuzione di probabilità stazionaria della catena di Markov e dato che si concentra su una media unica su tutte le celle, possiamo considerare che la realizzazione della catena al momento è una realizzazione dalla distribuzione di probabilità stazionaria. Ciò comporta una notevole riduzione dei costi di elaborazione, poiché possiamo simulare direttamente da questa distribuzione stazionaria50(X(t)) p 0=$\hat{p}_0$$50$$(\mathbf{X}^{(t)})$(X(t))t=50

Ovviamente, la distribuzione stazionaria fornisce direttamente il numero previsto di celle vuote come pari a ,

pot=rep(c(rep(c(0,1),15),rep(c(1,0),15)),15)*c(2,
    rep(3,28),2,rep(c(3,rep(4,28),3),28),2,rep(3,28),2)
pot=pot/sum(pot)
sum((1-pot)^450)-450
[1] 166.1069

che è abbastanza vicino a un'approssimazione di Monte Carlo di [basato su simulazioni 10,, che hanno impiegato 14 ore sulla mia macchina]. Ma non abbastanza vicino per 6 decimali.$166.11$

Come commentato da whuber , le stime devono essere moltiplicate per 2 per rispondere correttamente alla domanda, quindi un valore finale di 332.2137,

Un approccio analitico può essere noioso e non ho riflettuto sulle complessità, ma ecco un approccio che potresti voler prendere in considerazione. Dato che sei interessato al numero previsto di celle che sono vuote dopo 50 anelli, devi definire una catena markov sul "No delle pulci in una cella" piuttosto che sulla posizione di una pulce (vedi la risposta di Glen_b che modella la posizione di una pulce come catena markov. Come sottolineato da Andy nei commenti a quella risposta, quell'approccio potrebbe non ottenere quello che vuoi.)

In particolare, lasciamo:

$n_{ij}(t)$$i$$j$

Quindi la catena markov inizia con il seguente stato:

$n_{ij}(0) =1$$i$$j$

Poiché le pulci si spostano in una delle quattro celle adiacenti, lo stato di una cellula cambia in base al numero di pulci presenti nella cellula bersaglio e al numero di pulci presenti nelle quattro celle adiacenti e alla probabilità che si spostino in quella cella. Utilizzando questa osservazione, è possibile scrivere le probabilità di transizione di stato per ciascuna cella in funzione dello stato di quella cella e dello stato delle celle adiacenti.

Se lo desideri, posso espandere ulteriormente la risposta, ma questo, insieme a un'introduzione di base alle catene markov, dovrebbe iniziare.

se hai intenzione di percorrere il percorso numerico, una semplice osservazione: il problema sembra essere soggetto alla parità rosso-nera (una pulce su un quadrato rosso si sposta sempre in un quadrato nero e viceversa). Questo può aiutare a ridurre la dimensione del problema della metà (basta considerare due mosse alla volta e guardare solo le pulci sui quadrati rossi, diciamo.)

Sospetto che una certa conoscenza delle catene di Markov a tempo discreto possa rivelarsi utile.