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Supponiamo di avere sono iid e voglio fare un test di ipotesi che sia 0. Supponiamo di avere n grande e di poter usare il Teorema del limite centrale. Potrei anche fare un test che è 0, che dovrebbe essere equivalente al test che è 0. Inoltre, converge in un chi-quadrato, dove $X_1,\ldots,X_n$ $\mu$ $\mu^2$ $\mu$ $n(\bar{X}^2 - 0)$ converge in una normale. Poichéha un tasso di convergenza più veloce, non dovrei usarlo per la statistica del test e quindi otterrò un tasso di convergenza più veloce e il test sarà più efficiente? $\sqrt{n}(\bar{X} - 0)$ $\bar{X}^2$

So che questa logica è sbagliata, ma ho pensato e cercato a lungo e non riesco a capire perché.

hypothesis-testing convergence delta-method

— Xu Wang
fonte

Non è chiaro cosa stai chiedendo. Potresti spiegare in che senso il tasso di convergenza di

è "più veloce" di quello di

? Come stai misurando il tasso? Quali statistiche di test stai usando nei due test? Chiaramente queste scelte possono fare la differenza.

{\bar{X}}^{2}

$\bar X^2$

\bar{X}

$\bar X$

— whuber

@whuber grazie per le domande. Io dico "velocità più veloce" perché n è maggiore della radice quadrata di n. Questa intuizione è errata? Ho in mente test statistici X-bar o X-bar al quadrato.

— Xu Wang,

Penso che ti stai concentrando sulla cosa sbagliata. Questa velocità indica la velocità con cui la distribuzione di campionamento si avvicina a quella limitante - normale o

. Poiché

è grande, il suo valore non fa alcuna differenza pratica, è irrilevante. Il problema riguarda la potenza di ciascun test, non quanto la statistica del test sia approssimata alla distribuzione limitante.

χ^{2} (1)

$\chi^2(1)$

n

$n$

— whuber

@whuber grazie per questi dettagli. Ci ho pensato ma ancora non capisco. La varianza approssimativa di X-bar ^ 2 non sarà infine inferiore alla varianza approssimativa di X-bar? E non è forse il risultato di una X-bar ^ 2 con un tasso di convergenza maggiore di una X-bar? Mi dispiace di non aver visto i miei equivoci fondamentali. So che c'è qualcosa di grosso che mi manca e spero di correggere tale pensiero.

— Xu Wang,

Non importa se la varianza approssimativa è maggiore o minore, perché ciò che conta è la distribuzione della statistica. Per vedere questo, considera un test t per

con

. La statistica

ha sempre una varianza 100x quella di

, ma la normalizzazione si traduce in entrambe le statistiche di test effettive distribuite

. Nel tuo caso, ricorda che quadrando una

μ = 0

$\mu = 0$

x \sim N (0, 1)

$x \sim N(0,1)$

y \sim N (0, 10)

$y \sim N(0,10)$

\bar{y}

$\bar{y}$

\bar{x}

$\bar{x}$

t (n - 1)

$t(n-1)$

variate dà un

variabile. Al limite, questa trasformazione significa che i due test sono identici in termini di potenza dato un livello specificato.

N (0, 1)

$N(0,1)$

χ^{2}

$\chi^2$

— jbowman

Entrambi i test che descrivi sono equivalenti.

Se ho due ipotesi:

H_{0} : μ = 0

$H_0: \mu=0$

H_{1} : μ \neq 0

$H_1: \mu\neq0$

allora sono equivalenti a

H_{0} : μ^{2} = 0

$H_0: \mu^2=0$

H_{1} : μ^{2} > 0.

$H_1: \mu^2\gt 0.$

$\bar{X}$ $\mu$ $\sigma^2/n$

$\bar{X}^2$ $\bar{X}$ $n$

P (| \bar{X} - μ | > | {\bar{X}}^{2} - μ^{2} |) \to 1

$P(|\bar{X} - \mu| > |\bar{X}^2 - \mu^2|) \rightarrow 1$

$\bar{X}$ $\chi^2$

— JDL
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