Perché la legge dei grandi numeri non si applica nel caso del prezzo delle azioni Apple?

Ecco l'articolo sui tempi di New York intitolato "Apple affronta la legge dei grandi numeri" . Cerca di spiegare l'aumento dei corsi azionari di Apple usando la legge di grandi numeri. Quali errori statistici (o matematici) fa questo articolo?

Ecco il problema: Apple è così grande, si scontra con la legge di grandi numeri.

Conosciuto anche come teorema d'oro, con una prova attribuita al matematico svizzero del XVII secolo Jacob Bernoulli, la legge afferma che una variabile tornerà a una media su un ampio campione di risultati. Nel caso delle più grandi società, suggerisce che una crescita degli utili elevata e un rapido aumento del prezzo delle azioni rallenteranno man mano che tali società cresceranno sempre più.

Questo miscuglio confuso in realtà si riferisce a tre diversi fenomeni!

1. Le (varie) Leggi dei Grandi Numeri sono fondamentali nella teoria della probabilità per caratterizzare le situazioni in cui è ragionevole aspettarsi che campioni di grandi dimensioni forniscano informazioni sempre migliori su un processo o una popolazione da campionare. Infatti, Jacob Bernoulli fu il primo a riconoscere la necessità di affermare e dimostrare un tale teorema, che apparve nel suo postumo Ars Conjectandi nel 1713 (a cura di nipote Nicola Bernoulli).

   Non esiste un'apparente valida applicazione di tale legge alla crescita di Apple.

2. La regressione verso la media fu riconosciuta per la prima volta da Francis Galton nel 1880. Tuttavia, è stato spesso sottovalutato tra gli analisti aziendali. Ad esempio, all'inizio del 1933 (durante le profondità di una Grande Depressione), Horace Secrist pubblicò il suo magnum opus, il Trionfo della mediocrità negli affari. In esso, ha esaminato copiosamente le serie temporali degli affari e ha trovato, in ogni caso, prove di regressione verso la media. Ma non riuscire a riconoscerlo come un matematico ineluttabilefenomeno, ha sostenuto di aver scoperto una verità fondamentale dello sviluppo del business! Questo errore di confondere un modello puramente matematico con il risultato di una forza o tendenza sottostante (ora spesso chiamato "errore di regressione") ricorda il passaggio citato.

   (È interessante notare che Secrist era un eminente statistico, autore di uno dei più popolari libri di testo statistici pubblicati all'epoca. Su JSTOR, puoi trovare una lacerante recensione di Triumph ... di Harold Hotelling pubblicata su JASA alla fine del 1933. In un successivo scambio di lettere con Secrist, scrisse Hotelling

   La mia recensione ... era principalmente dedicata ad avvertire i lettori di non concludere che le imprese hanno la tendenza a diventare mediocri ... "Dimostrare" un tale risultato matematico con uno studio numerico costoso e prolungato ... è analogo a provare la moltiplicazione sistemando gli elefanti in file e colonne e facendo lo stesso per numerosi altri tipi di animali. La performance, sebbene forse divertente, e con un certo valore pedagogico, non è un contributo importante né alla zoologia né alla matematica.

   [Vol. JASA 29, n. 186 (giugno 1934), pagg. 198 e 199].)

   Il passaggio del NY Times sembra commettere lo stesso errore con i dati aziendali di Apple.

3. Se continuiamo a leggere nell'articolo, tuttavia, scopriremo presto il significato previsto dall'autore:

   Se il prezzo delle azioni di Apple aumentasse anche del 20 percento all'anno per il prossimo decennio, che è di gran lunga inferiore al suo ritmo attuale, la sua capitalizzazione di mercato di $ 500 miliardi sarebbe superiore a $ 3 trilioni entro il 2022.

   Questa, ovviamente, è una dichiarazione sull'estrapolazione della crescita esponenziale. Come tale contiene echi delle previsioni della popolazione maltusiana . Tuttavia, i rischi di estrapolazione non si limitano alla crescita esponenziale. Mark Twain (Samuel Clements) ha puntualizzato estrapolatori sfrenati in Life on the Mississippi (1883, capitolo 17):

   Ora, se volevo essere una di quelle persone scientifiche ponderose, e "lasciarsi andare" per dimostrare ... cosa accadrà in un futuro lontano da ciò che è accaduto negli ultimi anni, quale opportunità è qui! ... Si prega di osservare: -

   Nell'arco di centosettantasei anni il Mississippi inferiore si è accorciato di duecentoquarantadue miglia. Questa è una media di una sciocchezza su un miglio e un terzo all'anno. Pertanto, qualsiasi persona calma, che non sia cieca o idiota, può vedere che nell'Antico Periodo Siluriano Oolitico, solo un milione di anni fa, il prossimo novembre, il fiume Mississippi inferiore era lungo un milione e trecentomila miglia, e bloccato fuori sul Golfo del Messico come una canna da pesca. E allo stesso modo ogni persona può vedere che tra settecentoquarantadue anni il Basso Mississippi sarà lungo solo un chilometro e tre quarti, e Il Cairo e New Orleans avranno unito le loro strade insieme, e cammineranno comodamente sotto un sindaco unico e un consiglio reciproco di assessori. C'è qualcosa di affascinante nella scienza.Si ottengono così ingenti ritorni di congetture da un investimento di fatto così insignificante. ”

   (Enfasi aggiunta.) La satira di Twain si confronta favorevolmente con la citazione dell'articolo dell'analista aziendale Robert Cihra:

   Se estrapoli abbastanza lontano nel futuro, per sostenere quella crescita, Apple dovrebbe vendere un iPhone a ogni uomo, donna, bambino, animale e roccia del pianeta.

   (Sfortunatamente, sembra che Cihra non rispetti i suoi stessi consigli: valuta questo titolo un "acquisto". Potrebbe avere ragione, non per i meriti, ma in virtù della più grande teoria degli sciocchi .)

Se consideriamo l'articolo come "attenzione a estrapolare la crescita precedente nel futuro", ne trarremo molto. Gli investitori che ritengono che questa società sia un buon acquisto perché il suo rapporto PE è basso (che include molti dei principali gestori di denaro citati nell'articolo) non sono migliori del "mediatico scientifico" Twain infilzato oltre un secolo fa.

Una migliore conoscenza con Bernoulli, Hotelling e Twain avrebbe migliorato l'accuratezza e la leggibilità di questo articolo, ma alla fine sembra aver ottenuto il messaggio giusto.

Abbastanza spiritosamente, ho appena scritto un post sul blog proprio su questo argomento: http://confounding.net/2012/03/12/thats-not-how-the-law-of-large-numbers-works/

In sostanza, la Legge dei Grandi Numeri è che quando il numero di prove di un processo casuale aumenta, la media di tali prove si avvicinerà alla media effettiva (o aspettativa, per distribuzioni più complesse). Quindi, se lanci una moneta una volta e ottieni teste la tua probabilità di testa = 1.0, mentre lanci sempre più monete, ti avvicinerai sempre di più a 0,50.

L'autore sostiene che Apple avrà problemi in futuro a causa di qualcosa che in realtà non è affatto correlato alla legge dei grandi numeri. Vale a dire che man mano che Apple cresce, lo stesso aumento in% del prezzo delle azioni, degli utili, ecc. Diventa più difficile da raggiungere in termini assoluti in dollari. Fondamentalmente, per rimanere in rotta, Apple deve ottenere successi sempre più grandi.

Il collegamento che per il comportamento di un processo casuale convergenti a una media richiede alcune gravi ginnastica mentale. Per quanto posso dire, l'affermazione è che "La bellezza dei tuoi prodotti" è un processo casuale, e mentre Apple ha avuto una serie di fantastici "Sopra la media", alla fine dovranno convergere verso una media di "Mediocre ". Ma è davvero benefico per l'autore.

Solo perché 500 miliardi sono un numero elevato non significa che la "Legge dei grandi numeri" è ciò che agisce su di esso.

Non vi è alcun motivo di pensare che i prezzi delle azioni nel tempo per una determinata società rappresentino variabili casuali indipendenti, identicamente distribuite.