Ogni serie non stazionaria è convertibile in una serie stazionaria attraverso la differenziazione

Ogni serie temporale non stazionaria può essere convertita in serie storiche stazionarie applicando la differenziazione? Inoltre, come si decide l'ordine di differenziazione da applicare?

Fai semplicemente la differenza con gli intervalli 1,2 ... n ed esegui il test radice unitario di stazionario ogni volta per vedere se la serie risultante è stazionaria?

time-series stationarity

— Vincitore
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Risposte:

No. Come controesempio, si supponga che sia una qualsiasi variabile casuale e che le serie temporali abbiano il valore al tempo . La differenza al momento è una combinazione lineare $X$ $\exp(t X)$ $t$ $k^\text{th}$ $i=0, 1, 2, \ldots$

Δ^{k} (i) = \sum_{j = 0}^{k} w_{j} \exp ((i + j) X) = \exp (i X) \sum_{j = 0}^{k} w_{j} \exp (j X) = \exp (i X) Δ^{k} (0) .

$\Delta^k(i) = \sum_{j=0}^k w_j \exp((i+j)X) = \exp(iX) \sum_{j=0}^k w_j \exp(jX) = \exp(iX) \Delta^k(0).$

per i coefficienti (che possono essere calcolati ma i cui valori sono irrilevanti per questa discussione). A meno che sia costante, i lati sinistro e destro hanno distribuzioni diverse, dimostrando che la differenza non è stazionaria. Pertanto, nessuna differenza rende queste serie temporali stazionarie. $w_j$ $X$ $k^\text{th}$

— whuber
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Quindi, data una serie temporale (lineare), come fai a sapere se può mai essere differenziata per formare una serie stazionaria?

— Victor,

Spiega cosa intendi per serie temporale "lineare". In generale, il processo di adattamento di un modello AR equivale a stimare la quantità di differenziazione necessaria per rendere stazionaria la serie.

— whuber

Grazie ... fammi pensare. Non so quanto non so

— Victor

Ciò sembra essere una conseguenza del fatto che la funzione esponenziale è la sua derivata e ciò mi suggerisce immediatamente che una serie temporale può essere resa stazionaria da ripetute differenze se e solo se la funzione "vera" che modella è un polinomio ( o, equivalentemente, la sua espansione della serie Taylor è finita).

— zwol,

@zwol Questa è una buona intuizione - ed è il motivo per cui il controesempio esponenziale è stato il primo a venire in mente - ma è solo una parte della storia. Se l'aspettativa è una funzione polinomiale del tempo, allora una differenza sufficiente renderà stazionarie le serie storiche : cioè, i primi momenti delle distribuzioni saranno invarianti nel tempo. Tuttavia, la differenziazione non renderà necessariamente fermi i momenti più alti o i momenti multivariati.

— whuber

La risposta di Whuber è corretta; ci sono molte serie temporali che non possono essere rese stazionarie per differenza. Nonostante ciò risponda alla tua domanda in senso stretto, potrebbe anche valere la pena notare che all'interno dell'ampia classe di modelli ARIMA con rumore bianco, la differenziazione può trasformarli in modelli ARMA e questi ultimi sono (asintoticamente) stazionari quando le radici rimanenti di il polinomio caratteristico auto-regressivo si trova all'interno del cerchio unitario. Se si specifica una distribuzione iniziale appropriata per la serie osservabile che è uguale alla distribuzione stazionaria, si ottiene un processo di serie temporali rigorosamente stazionario .

Quindi, come regola generale, no, non tutte le serie temporali sono convertibili in serie fisse per differenza. Tuttavia, se si limita il proprio ambito di applicazione alla vasta classe di modelli di serie storiche nella classe ARIMA con rumore bianco e distribuzione iniziale specificata in modo appropriato (e altre radici AR all'interno del cerchio unitario), sì, è possibile utilizzare la differenziazione per ottenere la stazionarietà.

— Ben - Ripristina Monica
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+1 Probabilmente, per alcune (molte?) Applicazioni questa è una risposta più utile di quella puramente teorica che ho offerto.

— whuber

Sì, penso che a volte sia una questione di "Ecco la risposta alla tua domanda, e ora ecco la risposta a una domanda diversa che avresti dovuto porre anche tu."

— Ben - Ripristina Monica il