La teoria alla base dell'argomento pesi in R quando si usa lm ()

Dopo un anno alla scuola elementare, la mia comprensione dei "minimi quadrati ponderati" è la seguente: sia $\mathbf{y} \in \mathbb{R}^n$ , $\mathbf{X}$ una matrice di design $n \times p$ , sia un parametro vector, essere un vettore di errore tale che , dove e . Quindi il modello $\boldsymbol\beta \in \mathbb{R}^p$ $\boldsymbol\epsilon \in \mathbb{R}^n$ $\boldsymbol\epsilon \sim \mathcal{N}(\mathbf{0}, \sigma^2\mathbf{V})$ $\mathbf{V} = \text{diag}(v_1, v_2, \dots, v_n)$ $\sigma^2 > 0$

y = X β + ϵ

$\mathbf{y} = \mathbf{X}\boldsymbol\beta + \boldsymbol\epsilon$ sotto le ipotesi è chiamato il modello "minimi quadrati ponderati". Il problema WLS finisce per essere trovare

\arg min_{β} {(y - X β)}^{T} V^{- 1} (y - X β) .

$\begin{equation} \arg\min_{\boldsymbol \beta}\left(\mathbf{y}-\mathbf{X}\boldsymbol\beta\right)^{T}\mathbf{V}^{-1}\left(\mathbf{y}-\mathbf{X}\boldsymbol\beta\right)\text{.} \end{equation}$ Supponiamo

y = {[\begin{matrix} y_{1} & \dots & y_{n} \end{matrix}]}^{T}

$\mathbf{y} = \begin{bmatrix} y_1 & \dots & y_n\end{bmatrix}^{T}$ ,

β = {[\begin{matrix} β_{1} & \dots & β_{p} \end{matrix}]}^{T}

$\boldsymbol\beta = \begin{bmatrix} \beta_1 & \dots & \beta_p\end{bmatrix}^{T}$ e

X = [\begin{matrix} X_{11} & \dots & X_{1 p} \\ X_{21} & \dots & X_{2 p} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ X_{n 1} & \dots & X_{n p} \end{matrix}] = [\begin{matrix} X_{1}^{T} \\ X_{2}^{T} \\ ⋮ \\ X_{n}^{T} \end{matrix}] .

$\mathbf{X} = \begin{bmatrix} x_{11} & \cdots & x_{1p} \\ x_{21} & \cdots & x_{2p} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ x_{n1} & \cdots & x_{np} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{x}_{1}^{T} \\ \mathbf{x}_{2}^{T} \\ \vdots \\ \mathbf{x}_{n}^{T} \end{bmatrix}\text{.}$

x_{i}^{T} β \in R^{1}

$\mathbf{x}_i^{T}\boldsymbol\beta\in \mathbb{R}^1$ , quindi

y - X β = [\begin{matrix} y_{1} - X_{1}^{T} β \\ y_{2} - X_{2}^{T} β \\ ⋮ \\ y_{n} - X_{n}^{T} β \end{matrix}] .

$\mathbf{y}-\mathbf{X}\boldsymbol\beta = \begin{bmatrix} y_1-\mathbf{x}_{1}^{T}\boldsymbol\beta \\ y_2-\mathbf{x}_{2}^{T}\boldsymbol\beta \\ \vdots \\ y_n-\mathbf{x}_{n}^{T}\boldsymbol\beta \end{bmatrix}\text{.}$ Questo dà

\begin{aligned} (y - X β)^{T} V^{- 1} & = [\begin{matrix} y_{1} - X_{1}^{T} β & y_{2} - X_{2}^{T} β & \dots & y_{n} - X_{n}^{T} β \end{matrix}] diag (v_{1}^{- 1}, v_{2}^{- 1}, ..., v_{n}^{- 1}) \\ = [\begin{matrix} v_{1}^{- 1} (y_{1} - X_{1}^{T} β) & v_{2}^{- 1} (y_{2} - X_{2}^{T} β) & \dots & v_{n}^{- 1} (y_{n} - X_{n}^{T} β) \end{matrix}] \end{aligned}

$\begin{align} (\mathbf{y}-\mathbf{X}\boldsymbol\beta)^{T}\mathbf{V}^{-1} &= \begin{bmatrix} y_1-\mathbf{x}_{1}^{T}\boldsymbol\beta &y_2-\mathbf{x}_{2}^{T}\boldsymbol\beta & \cdots & y_n-\mathbf{x}_{n}^{T}\boldsymbol\beta \end{bmatrix}\text{diag}(v_1^{-1}, v_2^{-1}, \dots, v_n^{-1}) \\ &= \begin{bmatrix} v_1^{-1}(y_1-\mathbf{x}_{1}^{T}\boldsymbol\beta) &v_2^{-1}(y_2-\mathbf{x}_{2}^{T}\boldsymbol\beta) & \cdots & v_n^{-1}(y_n-\mathbf{x}_{n}^{T}\boldsymbol\beta) \end{bmatrix} \end{align}$ v_n ^ {- 1} (y_n- \ mathbf {x} _ {n} ^ {T} \ boldsymbol \ beta) \ end {bmatrix} \ end {align} dando così

\arg min_{β} {(y - X β)}^{T} V^{- 1} (y - X β) = \arg min_{β} Σ_{io = 1}^{n} v_{io}^{- 1} (y_{io} - X_{io}^{T} β)^{2} .

β

$\boldsymbol\beta$ viene stimato usando

\hat{β} = (X^{T} V^{- 1} X)^{- 1} X^{T} V^{- 1} y .

$\hat{\boldsymbol\beta} = (\mathbf{X}^{T}\mathbf{V}^{-1}\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}^{T}\mathbf{V}^{-1}\mathbf{y}\text{.}$ Questa è l'estensione della conoscenza con cui ho familiarità. Non mi è mai stato insegnato come scegliere

v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}

$v_1, v_2, \dots, v_n$ , anche se sembra che, a giudicare da qui , che di solito

Var (ϵ) = diag (σ_{1}^{2}, σ_{2}^{2}, \dots, σ_{n}^{2})

$\text{Var}(\boldsymbol\epsilon) = \text{diag}(\sigma^2_1, \sigma^2_2, \dots, \sigma^2_n)$ , che ha un senso intuitivo. (Dare pesi altamente variabili meno peso nel problema WLS e dare osservazioni con meno variabilità più peso.)

Ciò di cui sono particolarmente curioso è come Rgestisce i pesi nella lm()funzione quando i pesi sono assegnati come numeri interi. Dall'uso ?lm:

I non NULLpesi possono essere usati per indicare che osservazioni diverse hanno varianze diverse (con i valori nei pesi che sono inversamente proporzionali alle varianze); o equivalentemente, quando gli elementi dei pesi sono numeri interi positivi , che ogni risposta è la media delle osservazioni peso unitario (incluso il caso in cui vi siano osservazioni uguali a e i dati siano stati riassunti). $w_i$ $y_i$ $w_i$ $w_i$ $y_i$

Ho riletto questo paragrafo più volte e non ha senso per me. Utilizzando il framework che ho sviluppato sopra, supponiamo di avere i seguenti valori simulati:

x <- c(0, 1, 2)
y <- c(0.25, 0.75, 0.85)
weights <- c(50, 85, 75)

lm(y~x, weights = weights)

Call:
lm(formula = y ~ x, weights = weights)

Coefficients:
(Intercept)            x  
     0.3495       0.2834

Utilizzando il framework che ho sviluppato sopra, come vengono derivati questi parametri? Ecco il mio tentativo di farlo a mano: supponendo , abbiamo e facendo questo in dà (nota che l'invertibilità non funziona in questo caso, quindi ho usato un inverso generalizzato): $\mathbf{V} = \text{diag}(50, 85, 75)$

\begin{aligned} [\begin{matrix} {\hat{β}}_{0} \\ {\hat{β}}_{1} \end{matrix}] = \\ {([\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}] diag (1 / 50, 1 / 85, 1 / 75) {[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}]}^{T})}^{- 1} {[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}]}^{T} diag (1 / 50, 1 / 85, 1 / 75) [\begin{matrix} 0.25 \\ 0.75 \\ 0.85 \end{matrix}] \end{aligned}

$\begin{align}&\begin{bmatrix} \hat\beta_0 \\ \hat\beta_1 \end{bmatrix} = \\ &\left(\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1\\ 1 & 1 \end{bmatrix}\text{diag}(1/50, 1/85, 1/75)\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1\\ 1 & 1 \end{bmatrix}^{T} \right)^{-1}\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1\\ 1 & 1 \end{bmatrix}^{T}\text{diag}(1/50, 1/85, 1/75)\begin{bmatrix} 0.25 \\ 0.75 \\ 0.85 \end{bmatrix} \end{align}$ R

X <- matrix(rep(1, times = 6), byrow = T, nrow = 3, ncol = 2)
V_inv <- diag(c(1/50, 1/85, 1/75))
y <- c(0.25, 0.75, 0.85)

library(MASS)
ginv(t(X) %*% V_inv %*% X) %*% t(X) %*% V_inv %*% y

         [,1]
[1,] 0.278913
[2,] 0.278913

Questi non corrispondono ai valori lm()dall'output. Che cosa sto facendo di sbagliato?

r linear-model weighted-regression

— Clarinettista
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La matrice dovrebbe essere non Inoltre, dovresti esserlo , no . $X$

[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}],

$\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1\\ 1 & 2 \end{bmatrix},$

[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}] .

$\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1\\ 1 & 1 \end{bmatrix}.$ V_invdiag(weights)diag(1/weights)

x <- c(0, 1, 2)
y <- c(0.25, 0.75, 0.85)
weights <- c(50, 85, 75)
X <- cbind(1, x)

> solve(t(X) %*% diag(weights) %*% X, t(X) %*% diag(weights) %*% y)
       [,1]
  0.3495122
x 0.2834146

— mark999
fonte

Grazie per aver chiarito la matrice di progettazione errata, in particolare! Sono abbastanza arrugginito su questo materiale. Quindi, come ultima domanda, questo significa che

Var (ϵ) = diag (1 / weights)

$\text{Var}(\boldsymbol\epsilon) = \text{diag}(1/\text{weights})$ nelle ipotesi di WLS?

— Clarinetist del

Sì, anche se i pesi devono essere solo proporzionali a 1 / varianza, non necessariamente uguali. Ad esempio, se usi weights <- c(50, 85, 75)/2nel tuo esempio, otterrai lo stesso risultato.

— mark999,

Per rispondere in modo più conciso, la regressione dei minimi quadrati ponderati usando weightsin Rfa i seguenti presupposti: supponiamo di averlo fatto weights = c(w_1, w_2, ..., w_n). Lascia che , $\mathbf{y} \in \mathbb{R}^n$ $\mathbf{X}$ sia una matrice di progettazione , sia un vettore di parametri e è un vettore di errore con media e matrice di varianza , dove . Quindi, Seguendo gli stessi passaggi della derivazione nel post originale, abbiamo $n \times p$ $\boldsymbol\beta\in\mathbb{R}^p$ $\boldsymbol\epsilon \in \mathbb{R}^n$ $\mathbf{0}$ $\sigma^2\mathbf{V}$ $\sigma^2 > 0$

V = diag (1 / w_{1}, 1 / w_{2}, ..., 1 / w_{n}) .

$\mathbf{V} = \text{diag}(1/w_1, 1/w_2, \dots, 1/w_n)\text{.}$

\begin{aligned} \arg min_{β} {(y - X β)}^{T} V^{- 1} (y - X β) & = \arg min_{β} Σ_{io = 1}^{n} (1 / w_{io})^{- 1} (y_{io} - X_{io}^{T} β)^{2} \\ = \arg min_{β} Σ_{io = 1}^{n} w_{io} (y_{io} - X_{io}^{T} β)^{2} \end{aligned}

$\begin{align} \arg\min_{\boldsymbol \beta}\left(\mathbf{y}-\mathbf{X}\boldsymbol\beta\right)^{T}\mathbf{V}^{-1}\left(\mathbf{y}-\mathbf{X}\boldsymbol\beta\right)&= \arg\min_{\boldsymbol \beta}\sum_{i=1}^{n}(1/w_i)^{-1}(y_i-\mathbf{x}^{T}_i\boldsymbol\beta)^2 \\ &= \arg\min_{\boldsymbol \beta}\sum_{i=1}^{n}w_i(y_i-\mathbf{x}^{T}_i\boldsymbol\beta)^2 \end{align}$ e è stimato usando dal GLS ipotesi .

β

$\boldsymbol\beta$

\hat{β} = (X^{T} V^{- 1} X)^{- 1} X^{T} V^{- 1} y

$\hat{\boldsymbol\beta} = (\mathbf{X}^{T}\mathbf{V}^{-1}\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}^{T}\mathbf{V}^{-1}\mathbf{y}$

— Clarinettista
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