Nella teoria delle decisioni frequentiste, esistono risultati di classe completi che caratterizzano le procedure ammissibili come procedure di Bayes o come limiti delle procedure di Bayes. Ad esempio, la condizione necessaria e sufficiente di Stein (Stein. 1955; Farrell, 1968b) afferma che, secondo le seguenti ipotesi
- la densità di campionamento è continua in e strettamente positiva su ; eθ Θf( x | θ )θΘ
- la funzione di perdita è strettamente convessa, continua e, se
è compatta,E ⊂ Θ lim ‖ δ ‖ → + ∞ inf θ ∈ E L ( θ , δ ) = + ∞ .LE⊂ Θ
lim∥ δ∥ → + ∞infθ ∈ EL ( θ , δ) = + ∞ .
uno stimatore è ammissibile se, e solo se, esisteδ
[tratto dal mio libro Bayesian Choice , Teorema 8.3.0, p.407]
In questo senso limitato, la proprietà frequentista della ricevibilità è dotata di uno sfondo bayesiano, associando quindi un precedente (o sequenza) implicito a ciascuno stimatore ammissibile.
Sidenote: In una triste coincidenza, Charles Stein morì il 25 novembre a Palo Alto, in California. Aveva 96 anni.
Esiste un risultato simile (se matematicamente coinvolto) per la stima invariante o equivariante, vale a dire che il miglior stimatore equivariante è uno stimatore di Bayes per ogni gruppo transitivo che agisce su un modello statistico, associato alla giusta misura di Haar, , indotta su da questo gruppo e la corrispondente perdita invariante. Vedi Pitman (1939), Stein (1964) o Zidek (1969) per i dettagli coinvolti. Questo è probabilmente ciò che Jaynes aveva in mente, mentre sosteneva con forza la risoluzione dei paradossi dell'emarginazione mediante i principi di invarianza .π∗Θ
Inoltre, come dettagliato nella risposta civilstat , un'altra nozione frequente di ottimalità, vale a dire minimaxity, è anche collegata alle procedure bayesiane in quanto la procedura minimax che minimizza l'errore massimo (sopra lo spazio dei parametri) è spesso la procedura massima che massimizza l'errore minimo ( su tutte le distribuzioni precedenti), quindi è una procedura Bayes o un limite delle procedure Bayes.
D .: Esiste un pithy takeaway che posso usare per trasferire la mia intuizione bayesiana su modelli frequentisti?
Innanzitutto eviterei di usare il termine "modello frequentista" in quanto vi sono modelli di campionamento (i dati sono una realizzazione di per un valore di parametro )X ∼ f ( x | θ ) θ xX∼f(x|θ)θ e procedure per frequentisti (miglior stimatore imparziale, minimo intervallo di confidenza della varianza, ecc.)95 95In secondo luogo, non vedo una ragione metodologica o teorica convincente per considerare i metodi frequentisti come metodi bayesiani limite o limitanti. La giustificazione per una procedura frequentista, quando esiste, è soddisfare alcune proprietà di ottimalità nello spazio di campionamento, cioè quando si ripetono le osservazioni. La giustificazione principale per le procedure bayesiane è quella di essere ottimale [secondo uno specifico criterio o funzione di perdita] data una distribuzione precedente e una realizzazione dal modello di campionamento. A volte, la procedura risultante soddisfa alcune proprietà frequentiste (la regione credibile al % è una regione di confidenza al %)9595 , ma ciò accade in quanto questa ottimalità non si trasferisce a tutte le procedure associate al modello bayesiano.