Regressione logistica per i dati dalle distribuzioni di Poisson


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Da alcune note di apprendimento automatico che parlano di alcuni metodi di classificazione discriminatoria, in particolare la regressione logistica, dove y è l'etichetta di classe (0 o 1) e x è i dati, si dice che:

se x|y=0Poisson(λ0) e x|y=1Poisson(λ1) , allora p(y|x) sarà logistico.

Perché è vero?

Risposte:


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Y ha due valori possibili per un dato valore di X . Secondo le ipotesi,

Pr(X=x|Y=0)=exp(λ0)λ0xx!

e

Pr(X=x|Y=1)=exp(λ1)λ1xx!.

Pertanto (questo è un caso banale del teorema di Bayes) la possibilità che condizionale su sia la probabilità relativa di quest'ultimo, vale a direY=1X=x

Pr(Y=1|X=x)=exp(λ1)λ1xx!exp(λ1)λ1xx!+exp(λ0)λ0xx!=11+exp(β0+β1x)

dove

β0=λ1λ0

e

β1=log(λ1/λ0).

Questo è davvero il modello di regressione logistica standard.

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