Regressione logistica per i dati dalle distribuzioni di Poisson

11

Da alcune note di apprendimento automatico che parlano di alcuni metodi di classificazione discriminatoria, in particolare la regressione logistica, dove y è l'etichetta di classe (0 o 1) e x è i dati, si dice che:

se $x|y = 0 \sim \mathrm{Poisson}(λ_0)$ e $x|y = 1 \sim \mathrm{Poisson}(λ_1)$ , allora $p(y|x)$ sarà logistico.

Perché è vero?

logistic poisson-distribution statistical-learning

— sambajetson
fonte

Risposte:

16

$Y$ ha due valori possibili per un dato valore di $X$ . Secondo le ipotesi,

Pr (X = x | Y = 0) = \exp (- λ_{0}) \frac{λ_{0}^{x}}{x!}

$\Pr(X=x|Y=0) = \exp(-\lambda_0) \frac{\lambda_0^x}{x!}$

e

Pr (X = x | Y = 1) = \exp (- λ_{1}) \frac{λ_{1}^{x}}{x!} .

$\Pr(X=x|Y=1) = \exp(-\lambda_1) \frac{\lambda_1^x}{x!}.$

Pertanto (questo è un caso banale del teorema di Bayes) la possibilità che condizionale su sia la probabilità relativa di quest'ultimo, vale a dire $Y=1$ $X=x$

Pr (Y = 1 | X = x) = \frac{\exp (- λ_{1}) \frac{λ_{1}^{x}}{x!}}{\exp (- λ_{1}) \frac{λ_{1}^{x}}{x!} + \exp (- λ_{0}) \frac{λ_{0}^{x}}{x!}} = \frac{1}{1 + \exp (β_{0} + β_{1} x)}

$\Pr(Y=1|X=x) = \frac{\exp(-\lambda_1) \frac{\lambda_1^x}{x!}}{\exp(-\lambda_1) \frac{\lambda_1^x}{x!} + \exp(-\lambda_0) \frac{\lambda_0^x}{x!}}= \frac{1}{1 + \exp(\beta_0 + \beta_1 x)}$

dove

β_{0} = λ_{1} - λ_{0}

$\beta_0 = \lambda_1 - \lambda_0$

e

β_{1} = - \log (λ_{1} / λ_{0}) .

$\beta_1 = -\log(\lambda_1/\lambda_0).$

Questo è davvero il modello di regressione logistica standard.

— whuber
fonte

Utilizzando il nostro sito, riconosci di aver letto e compreso le nostre Informativa sui cookie e Informativa sulla privacy.

Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.