Distanza massima tra i campioni prelevati senza sostituzione da una distribuzione uniforme discreta

Questo problema è legato alla ricerca del mio laboratorio sulla copertura robotica:

Disegna casualmente numeri dall'insieme senza sostituzione e ordina i numeri in ordine crescente. . $n$ $\{1,2,\ldots,m\}$ $1\le n\le m$

Da questo elenco ordinato di numeri , genera la differenza tra numeri consecutivi e limiti: . Questo dà spazi vuoti. $\{a_{(1)},a_{(2)},…,a_{(n)}\}$ $g = \{a_{(1)},a_{(2)}−a_{(1)},\ldots,a_{(n)}−a_{(n-1)},m+1-a_{(n)}\}$ $n+1$

Qual è la distribuzione del divario massimo?

$P(\max(g) = k) = P(k;m,n) = ?$

Questo può essere inquadrato usando le statistiche dell'ordine : $P(g_{(n+1)} = k) = P(k;m,n) = ?$

Vedi il link per la distribuzione delle lacune , ma questa domanda richiede la distribuzione del gap massimo .

Sarei soddisfatto del valore medio, . $\mathbb{E}[g_{(n+1)}]$

Se tutti gli spazi sono di dimensioni 1. Se c'è uno spazio di dimensione e possibili posizioni. La dimensione massima dello spazio è e questo spazio può essere posizionato prima o dopo uno qualsiasi degli numeri, per un totale di posizioni possibili. La dimensione minima del gap massima è . Definisci la probabilità di una data combinazione . $n=m$ $n+1 = m$ $2$ $n+1$ $m-n+1$ $n$ $n+1$ $\lceil\frac{m-n}{n+1}\rceil$ $T= {m \choose n}^{-1}$

Ho parzialmente risolto la funzione della massa di probabilità come $P(g_{(n+1)} = k) = P(k;m,n) = \begin{cases} 0 & k < \lceil\frac{m-n}{n+1}\rceil\\ 1 & k = \frac{m-n}{n+1} \\ 1 & k = 1 \text{ (occurs when $m=n$)} \\ T(n+1)& k = 2 \text{ (occurs when $m=n+1$)} \\ T(n+1)& k = \frac{m-(n-1)}{n} \\ ? & \frac{m-(n-1)}{n} \le k \le m-n+1 \\ T(n+1)& k = m-n+1\\ 0 & k > m-n+1 \end{cases} \tag{1}$

Lavoro corrente (1): l'equazione per il primo gap, $a_{(1)}$ è semplice:

P (a_{(1)} = k) = P (k; m, n) = \frac{1}{(\binom{m}{n})} \sum_{k = 1}^{m - n + 1} (\binom{m - k - 1}{n - 1})

$P(a_{(1)} = k) = P(k;m,n) = \frac{1}{{m \choose n}} \sum_{k=1}^{m-n+1} {m-k-1 \choose n-1}$ Il valore atteso ha un valore semplice:

E [P (a_{(1)})] = \frac{1}{(\binom{m}{n})} \sum_{k = 1}^{m - n + 1} (\binom{m - k - 1}{n - 1}) k = \frac{m - n}{1 + n}

$\mathbb{E}[P(a_{(1)})] = \frac{1}{ {m \choose n}} \sum_{k=1}^{m-n+1} {m-k-1 \choose n-1} k = \frac{m-n}{1+n}$ . Per simmetria, mi aspetto che tutti i

n

$n$ lacune di avere questa distribuzione. Forse la soluzione potrebbe essere trovata attingendo da questa distribuzione

n

$n$ volte.

Lavoro attuale (2): è facile eseguire simulazioni Monte Carlo.

simMaxGap[m_, n_] := Max[Differences[Sort[Join[RandomSample[Range[m], n], {0, m+1}]]]];
m = 1000; n = 1; trials = 100000;
SmoothHistogram[Table[simMaxGap[m, n], {trials}], Filling -> Axis,
Frame -> {True, True, False, False},
FrameLabel -> {"k (Max gap)", "Probability"},
PlotLabel -> StringForm["m=``,n=``,smooth histogram of maximum map for `` trials", m, n, trials]][![enter image description here][1]][1]

— AaronBecker
fonte

In queste condizioni devi avere n <= m. Penso che tu voglia g = {a_ (1), a_ (2) -a_ (1), ..., a_ (n) -a_ (n-1)}. Selezionare casualmente significa selezionare ciascun numero con probabilità 1 / m al primo pareggio? Dato che non si sostituisce la probabilità sarebbe 1 / (m-1) sul secondo e così via fino a 1 sul mth draw se n = m. Se n <m questo si fermerebbe prima con l'ultima estrazione con probabilità 1 / (m- (n-1)) sull'ennesima estrazione.

— Michael R. Chernick,

La tua descrizione originale di non aveva senso, perché (credo) hai trasposto due dei pedici. Verifica che la mia modifica sia conforme alla tua intenzione: in particolare, conferma che intendi che ci siano lacune, di cui è il primo.

g

$g$

n

$n$

a_{(1)}

$a_{(1)}$

— whuber

@gung Penso che questa sia ricerca, piuttosto che studio personale

— Glen_b -Reinstate Monica

Penso che le dimensioni del tuo spazio minimo e massimo dovrebbero essere e . La dimensione minima dello spazio è quando vengono scelti numeri interi consecutivi e la dimensione massima dello spazio si verifica quando si selezionano e primi numeri interi (o e )

1

$1$

m - n + 1

$m-n+1$

m

$m$

n - 1

$n-1$

1, \dots, n - 1

$1,\dots,n-1$

1

$1$

m - n + 2, \dots, m

$m-n+2,\dots,m$

— probabilityislogic

Grazie Michael Chernick e chanceislogic, le tue correzioni sono state apportate. Grazie @whuber per aver apportato la correzione!

— Aaron Becker

Sia la possibilità che il minimo, , sia uguale a ; vale a dire, il campione è composto da e da un sottoinsieme di . Ci sono $f(g;n,m)$ $a_{(1)}$ $g$ $g$ $n-1$ $\{g+1,g+2,\ldots,m\}$ tali sottoinsiemi di $\binom{m-g}{n-1}$ sottoinsiemi altrettanto probabili, da cui $\binom{m}{n}$

Pr (a_{(1)} = g = f (g; n, m) = \frac{(\binom{m - g}{n - 1})}{(\binom{m}{n})} .

$\Pr(a_{(1)}=g = f(g;n,m) = \frac{\binom{m-g}{n-1}}{\binom{m}{n}}.$

Aggiungendo per tutti i possibili valori di maggiore di ottiene la funzione di sopravvivenza $f(k;n,m)$ $k$ $g$

Pr (a_{(1)} > g) = Q (g; n, m) = \frac{(m - g) (\binom{m - g - 1}{n - 1})}{n (\binom{m}{n})} .

$\Pr(a_{(1)} \gt g) = Q(g;n,m)= \frac{(m-g)\binom{m-g-1}{n-1}}{n \binom{m}{n}}.$

Sia la variabile casuale data dal gap più grande: $G_{n,m}$

G_{n, m} = max (a_{(1)}, a_{(2)} - a_{(1)}, \dots, a_{(n)} - a_{(n - 1)}) .

$G_{n,m} = \max\left(a_{(1)}, a_{(2)}-a_{(1)}, \ldots, a_{(n)}-a_{(n-1)}\right).$

(Questo risponde alla domanda come originariamente inquadrata, prima che fosse modificata per includere uno spazio tra e .) $a_{(n)}$ $m$ Calcoleremo la sua funzione di sopravvivenza da cui deriva prontamente l'intera distribuzione di . Il metodo è un programma dinamico che inizia con

P (g; n, m) = Pr (G_{n, m} > g),

$P(g;n,m)=\Pr(G_{n,m}\gt g),$

G_{n, m}

$G_{n,m}$

n = 1

$n=1$ , per il quale è ovvio che

\begin{matrix} (1) & P (g; 1, m) = Pr (G_{1, m} > 1) = \frac{m - g}{m}, g = 0, 1, \dots, m . \end{matrix}

$P(g;1,m) = \Pr(G_{1,m} \gt 1) = \frac{m-g}{m},\ g=0, 1, \ldots, m.\tag{1}$

Per più grande , si noti che l'evento $n\gt 1$ $G_{n,m}\gt g$ è l'unione disgiunta dell'evento

a_{1} > g,

$a_{1} \gt g,$

per cui il primo gap supera , e $g$ $g$ eventi separati

a_{1} = k and G_{n - 1, m - k} > g, k = 1, 2, \dots, g

$a_{1}=k\text{ and } G_{n-1,m-k} \gt g, \ k=1, 2, \ldots, g$

per cui il primo gap è uguale a e un gap maggiore di verifica successivamente nel campione. La legge della probabilità totale afferma che le probabilità di questi eventi aggiungono, da cui $k$ $g$

\begin{matrix} (2) & P (g; n, m) = Q (g; n, m) + \sum_{k = 1}^{g} f (k; n, m) P (g; n - 1, m - k) . \end{matrix}

$P(g;n,m) = Q(g;n,m) + \sum_{k=1}^g f(k;n,m) P(g;n-1,m-k).\tag{2}$

Riparando e disponendo un array a due vie indicizzato da e , possiamo calcolare usando per riempire nella sua prima riga e per riempire ogni riga successiva usando le operazioni per riga. Di conseguenza la tabella può essere completata in $g$ $i=1,2,\ldots,n$ $j=1,2,\ldots,m$ $P(g;n,m)$ $(1)$ $(2)$ $O(gm)$ $O(gmn)$ le operazioni e tutte le tabelle da a possono essere costruite in $g=1$ $g=m-n+1$ $O(m^3n)$ operations.

Questi grafici mostrano la funzione di sopravvivenza per . All'aumentare di , il grafico si sposta a sinistra, corrispondente alle probabilità decrescenti di ampi spazi vuoti. $g\to P(g;n,64)$ $n=1,2,4,8,16,32,64$ $n$

Le formule chiuse per possono essere ottenute in molti casi speciali, specialmente per grandi , ma non sono stato in grado di ottenere una formula chiusa che si applica a tutti $P(g;n,m)$ $n$ . Buone approssimazioni sono prontamente disponibili sostituendo questo problema con il problema analogo per variabili uniformi continue. $g,n,m$

Infine, l'aspettativa di si ottiene sommando la sua funzione di sopravvivenza a partire da $G_{n,m}$ $g=0$ :

E (G_{n, m}) = \sum_{g = 0}^{m - n + 1} P (g; n, m) .

$\mathbb{E}(G_{n,m}) = \sum_{g=0}^{m-n+1} P(g;n,m).$

$2, 4, 6, \ldots, 32$

— whuber
fonte

Suggestion: line "Let

G_{n, m}

$G_{n,m}$ be the random variable given by the largest gap:", please add the last gap of

m + 1 - a_{n}

$m+1-a_{n}$ . Your expectation plot matches my Monte Carlo simulation.

— AaronBecker