Come è

Consenti alle coordinate cartesiane di un punto casuale di selezionare st .$x,y$$(x,y) \sim U(-10,10) \times U(-10,10)$

Così, il raggio, , non è distribuita uniformemente come sottintende 's pdf .$\rho = \sqrt{x^2 + y^2}$$\rho$

Tuttavia mi aspetterei che sia quasi uniforme, escludendo gli artefatti dovuti ai 4 resti ai bordi:$\theta = \arctan{\frac{y}{x}}$

Di seguito sono riportate le funzioni di densità di probabilità calcolate graficamente di e : $\theta$$\rho$

Ora, se io lascio essere distribuita st , allora sembra uniformemente distribuiti:x , y ∼ N ( 0 , 20 2 ) × N ( 0 , 20 2 ) $x,y$$x,y \sim N(0,20^2)\times N(0,20^2)$$\theta$

Perché non è uniforme quando ed è uniforme quando ?( x , y ) ∼ U ( - 10 , 10 ) × U ( - 10 , 10 ) x , y ∼ N ( 0 , 20 2 ) × N ( 0 , 20 2$\theta$$(x,y) \sim U(-10,10) \times U(-10,10)$$x,y \sim N(0,20^2)\times N(0,20^2)$

Il codice Matlab che ho usato:

number_of_points = 100000;
rng('shuffle')

a = -10;
b = 10;
r = (b-a).*randn(2,number_of_points);
r = reshape(r, [2,number_of_points]);
I = eye(2);
e1 = I(:,1); e2 = I(:,2);
theta = inf*ones(1,number_of_points);
rho = inf*ones(1,number_of_points);

for i=1:length(r(1,:))
    x = r(:,i);
    [theta(i),rho(i)] = cart2pol(x(1),x(2));        
end

figure
M=3;N=1; bins = 360;
subplot(M,N,1); 
histogram(rad2deg(theta), bins)
title('Polar angle coordinate p.d.f');

subplot(M,N,2); 
histogram(rho, bins);
title('Polar radius coordinate p.d.f');

subplot(M,N,3); 
histogram(r(:));
title('The x-y cooridnates distrbution (p.d.f)');

Sostituendo la 3a riga: r = (b-a).*randn(2,number_of_points);con r = (b-a).*randn(2,number_of_points) +a ;cambierà la distribuzione di da normale a uniforme.$(x,y)$

Ti riferisci a una trasformazione da una coppia di variate indipendenti alla rappresentazione polare ( R , θ ) (raggio e angolo), quindi osservi la distribuzione marginale di θ .$(X,Y)$$(R,\theta)$$\theta$

Offrirò una spiegazione piuttosto intuitiva (sebbene una derivazione matematica della densità faccia essenzialmente ciò che descrivo in modo informale).

Si noti che se si scalano le due variabili, X e Y di una scala comune (ad esempio, passare da U (-1,1) a U (-10,10) o da N (0,1) a N (0,20) su entrambe le variabili contemporaneamente) che non fa alcuna differenza nella distribuzione dell'angolo (influisce solo sulla scala della distribuzione del raggio). Quindi consideriamo solo i casi unitari.

Innanzitutto considera cosa sta succedendo con il caso uniforme. Si noti che la distribuzione è uniforme sul quadrato dell'unità, quindi la densità di probabilità in una regione contenuta in è proporzionale all'area della regione. In particolare, osserva la densità associata a un elemento di angolo, d θ vicino all'orizzontale (angolo vicino θ = 0 ) e sulla diagonale (angolo vicino θ = π / 4 ):$[-1,1]^2$$d\theta$$\theta=0$$\theta=\pi/4$

Chiaramente l'elemento probabilità (cioè area) corrispondente ad un elemento di angolo ( d θ ) è maggiore quando l'angolo è vicino ad una delle diagonali. In effetti prendi in considerazione l'iscrizione di un cerchio all'interno del quadrato; l'area attraversata da un determinato angolo all'interno del cerchio è costante, quindi la parte esterna al cerchio cresce man mano che ci avviciniamo alla diagonale, dove è al massimo.$df_\theta$$d\theta$

Questo spiega completamente il modello che vedi nelle simulazioni.

In effetti, possiamo vedere che la densità deve essere proporzionale alla lunghezza del segmento dal centro del quadrato al suo bordo; la semplice trigonometria è sufficiente per derivare la densità da lì e quindi è facile trovare la costante richiesta per integrare la densità a 1.

[Modifica: aggiunto questo bit successivo per discutere il raggio, poiché la domanda è cambiata dalla mia risposta originale.]

Si noti che se avessimo una distribuzione uniforme sul cerchio unitario (cioè quello che abbiamo inscritto nel quadrato prima), la densità del raggio sarebbe proporzionale al raggio (considera l'area di un piccolo elemento anulare di larghezza al raggio r - cioè tra r e r + d r - ha un'area proporzionale a r ). Quindi mentre passiamo fuori dal cerchio, le nuove regioni anulari con raggio maggiore ottengono solo contributi di densità dalla parte nel quadrato, quindi la densità diminuisce (inizialmente abbastanza rapidamente, quindi più lentamente) tra 1 e $dr$$r$$r$$r+dr$$r$$1$ . (Ancora una volta, nozioni geometriche abbastanza semplici sono sufficienti per ottenere la forma funzionale della densità se è necessario.)$\sqrt 2$

Al contrario, se la distribuzione articolare è simmetrica in senso rotazionale rispetto all'origine, l'elemento di probabilità ad un certo angolo non dipende dall'angolo (questa è essenzialmente una tautologia!). La distribuzione bivariata di due gaussiani standard indipendenti è simmetrica in senso rotazionale rispetto all'origine:

(codice per questa immagine basata sul codice di Elan Cohen qui , ma c'è una bella alternativa qui , e qualcosa tra i due qui )

Di conseguenza il volume contenuto in un angolo è lo stesso per ogni θ , quindi la densità associata all'angolo è uniforme su [ 0 , 2 π ) .$d\theta$$\theta$$[0,2\pi)$

[Il trucco polare tipicamente usato per integrare la densità normale sulla linea reale può essere usato per capire che la densità del raggio quadrato è esponenziale negativa, e da lì la densità del raggio è semplice da identificare mediante un semplice argomento di trasformazione da la funzione di distribuzione]

Risponderò alla domanda sul caso normale che porta alla distribuzione uniforme. È noto che se e Y sono indipendenti e normalmente distribuiti, i contorni della densità di probabilità costante è un cerchio nel piano x - y . Il raggio R = $X$$Y$$x-y$ ha ladistribuzione di Rayleigh. Per una buona discussione di questo, l'articolo di Wikipedia intitolato Distribuzione di Rayleigh.$R= \sqrt{X^2+ Y^2}$

Vediamo ora le variabili casuali e Y utilizzando le coordinate polari.$X$$Y$

$X = r\cos(\theta)$$Y = r \sin(\theta)$$X^2 +Y^2= r^2$$\theta$$(0,2 \pi)$$r$$X$$Y$$0$

Ecco uno schizzo della prova. Senza perdita di generalità possiamo supporre che sia distribuito N ( 0 , 1 ) e Y sia distribuito N ( 0 , 1 ) e indipendente l'uno dall'altro.$X$$N(0,1)$$Y$$N(0,1)$

Poi il giunto densità . Usa la trasformazione in coordinate polari per ottenere g ( r , θ ) . Poiché x = r sin ( θ ) e y = r cos ( θ ) . Quindi $f(x,y) = (1/2 \pi)\exp[(-[x^2 +y^2])/2]$$g(r, \theta)$$x = r \sin(\theta)$$y = r \cos(\theta)$ eθ=arctan(x/y). Calcola il giacobino della trasformazione e fai la sostituzione appropriata inf(x,y). di conseguenzag(r,θ)saràrexp[(-r2)/(2π)]perr≥0e0≤θ$r= \sqrt{x^2 + y^2}$$\theta = \arctan(x/y)$$f(x,y)$$g(r, \theta)$$r \exp[(-r^2)/(2 \pi)]$$r\geq0$ . Ciò dimostra che r e theta sono indipendenti con r che ha una distribuzione di Rayleigh e che theta ha la densità costante 1 / ( 2 π ) .$0\leq\theta\leq 2 \pi$$r$$r$$1/(2 \pi)$

$\theta$$(X,Y)$$[-1,1]\times[-1,1]$$1 \over 4$$0$$1 \over 4$

La regione di interesse per la nostra domanda è il settore rosso su questo disegno:

$\theta$$\theta + d\theta$$\theta$$\theta + d\theta$$\theta$

$\theta\in \left[ -{\pi \over 4}, {\pi\over 4}\right]$$\pi\over 2$

$1\over \cos\theta$

$a$$b$$\alpha$${1\over 2}ab\sin\alpha$

$\theta$

Verifica:

x <- runif(1e6, -1, 1)
y <- runif(1e6, -1, 1)
hist( atan2(y,x), freq=FALSE, breaks=100)
theta <- seq(-pi, pi, length=500)
lines(theta, 0.125/cos((theta + pi/4)%%(pi/2) - pi/4)**2, col="red" )