Quali sono le distribuzioni sul quadrante k-dimensionale positivo con matrice di covarianza parametrizzabile?

Seguendo la domanda di zzk sul suo problema con le simulazioni negative, mi chiedo quali siano le famiglie parametrizzate di distribuzioni sul quadrante k-dimensionale positivo, per le quali è possibile impostare la matrice di covarianza . $\mathbb{R}_+^k$ $\Sigma$

Come discusso con zzk , partire da una distribuzione su e applicare la trasformazione lineare non funziona. $\mathbb{R}_+^k$ $X \longrightarrow\Sigma^{1/2} (X-\mu) + \mu$

distributions multivariate-analysis covariance

— Xi'an
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Risposte:

Supponiamo di avere un vettore casuale normale multivariato con e matrice definita positiva simmetrica di rango completo .

(\log X_{1}, \dots, \log X_{k}) \sim N (μ, Σ),

$(\log X_1,\dots,\log X_k) \sim N(\mu,\Sigma) \, ,$

μ \in R^{k}

$\mu\in\mathbb{R}^k$

k \times k

$k\times k$

Σ = (σ_{i j})

$\Sigma=(\sigma_{ij})$

Per il lognormale non è difficile dimostrare che $(X_1,\dots,X_k)$

m_{i} := E [X_{i}] = e^{μ_{i} + σ_{i i} / 2}, i = 1, \dots, k,

$m_i := \textrm{E}[X_i] = e^{\mu_i + \sigma_{ii}/2} \, , \quad i=1,\dots,k\, ,$

c_{i j} := Cov [X_{i}, X_{j}] = m_{i} m_{j} (e^{σ_{i j}} - 1), i, j = 1, \dots, k,

$c_{ij} := \textrm{Cov}[X_i,X_j] = m_i \,m_j \,(e^{\sigma_{ij}} - 1) \, , \quad i,j=1,\dots,k\, ,$

e ne consegue che . $c_{ij}>-m_im_j$

Quindi, possiamo fare la domanda : dato e matrice definita positiva simmetrica , soddisfacente , se lasciamo avremo un vettore lognormale con i mezzi e le covarianze prescritte. $m=(m_1,\dots,m_k)\in\mathbb{R}^k_+$ $k\times k$ $C=(c_{ij})$ $c_{ij}>-m_im_j$

μ_{i} = \log m_{i} - \frac{1}{2} \log (\frac{c_{i i}}{m_{i}^{2}} + 1), i = 1, \dots, k,

$\mu_i = \log m_i - \frac{1}{2} \log\left(\frac{c_{ii}}{m_i^2} + 1 \right) \, , \quad i=1,\dots,k \, ,$

σ_{i j} = \log (\frac{c_{i j}}{m_{i} m_{j}} + 1), i, j = 1, \dots, k,

$\sigma_{ij} = \log\left(\frac{c_{ij}}{m_i m_j} + 1 \right) \, , \quad i,j=1,\dots,k \, ,$

Il vincolo su e è equivalente alla condizione naturale . $C$ $m$ $\textrm{E}[X_i X_j]>0$

— zen
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Fantastico, Paulo! Hai ottenuto una soluzione funzionante e le condizioni adeguate sulla matrice di covarianza, che risponde anche a questa domanda . I log-normali si dimostrano più maneggevoli dei gamme, alla fine.

— Xi'an,

In realtà, ho una soluzione decisamente pedonale.

Inizia con e scegli i due parametri per adattarli ai valori di , . $X_1\sim \text{Ga}(\alpha_{11},\beta_{1})$ $\mathbb{E}[X_1]$ $\text{var}(X_1)$
Prendi e scegli i tre parametri per adattarli ai valori di , e . $X_2|X_1\sim \text{Ga}(\alpha_{21}X_1+\alpha_{22},\beta_{2})$ $\mathbb{E}[X_2]$ $\text{var}(X_2)$ $\text{cov}(X_1,X_2)$
Prendi e scegli i quattro parametri per adattarli ai valori di , , e . $X_3|X_1,X_2\sim \text{Ga}(\alpha_{31}X_1+\alpha_{32}X_2+\alpha_{33},\beta_{3})$ $\mathbb{E}[X_3]$ $\text{var}(X_3)$ $\text{cov}(X_1,X_3)$ $\text{cov}(X_2,X_3)$

e così via ... Tuttavia, dati i vincoli sui parametri e la natura non lineare delle equazioni del momento, è possibile che alcuni insiemi di momenti corrispondano a nessun insieme accettabile di parametri.

Ad esempio, quando , con il sistema di equazioni $k=2$

β_{1} = μ_{1} / σ_{1}^{2}, α_{11} - μ_{1} β_{1} = 0

$\beta_1 =\mu_1/\sigma_1^2\,,\quad \alpha_{11}-\mu_1\beta_1 =0$

α_{22} = μ_{2} β_{2} - α_{21} μ_{1}, α_{21} = \frac{(σ_{12} + μ_{1} μ_{2} - μ_{2})}{σ_{1}^{2} + μ_{1}^{2} - μ_{1}} β_{2}

$\alpha_{22} = \mu_2\beta_2 - \alpha_{21}\mu_1\,,\quad \alpha_{21} = \dfrac{(\sigma_{12}+\mu_1\mu_2-\mu_2)}{\sigma^2_1+\mu_1^2- \mu_1}\beta_2$

\frac{(σ_{12} + μ_{1} μ_{2} - μ_{2})^{2}}{(σ_{1}^{2} + μ_{1}^{2} - μ_{1})^{2}} σ_{1}^{2} + \frac{μ_{2}}{β_{2}} = σ_{2}^{2} .

$\dfrac{(\sigma_{12}+\mu_1\mu_2-\mu_2)^2}{(\sigma^2_1+\mu_1^2- \mu_1)^2} \sigma_1^2 + \dfrac{\mu_2}{\beta_2} = \sigma^2_2\,.$ L'esecuzione di un codice R con valori arbitrari (e a priori accettabili) per e portato a molti casi senza soluzione. Ancora una volta, questo non significa molto perché le matrici di correlazione per le distribuzioni su possono avere restrizioni più forti di un semplice determinante positivo.

μ

$\mu$

Σ

$\Sigma$

R_{+}^{2}

$\mathbb{R}_+^2$

aggiornamento (04/04): in seguito riformulato questa domanda come una nuova domanda nel forum di matematica.

— Xi'an
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Un modo per estenderlo leggermente è considerare la famiglia esponenziale naturale Allora la media e la covarianza sono il gradiente e tela di . Se è un polinomio (con esponenti reali> -1), allora è il registro di un polinomio (con esponenti reali) e la varianza e l'Assia sono funzioni razionali. Penso che questo dia abbastanza libertà per rappresentare qualsiasi matrice media e di covarianza.

f (X | θ) = h (x) e^{θ^{T} X - A (θ)} .

$f(\mathbf{X}|\mathbf\theta)=h(\mathbf{x})e^{\mathbf\theta^T\mathbf{X}-A(\mathbf\theta)}.$

A

$A$

h

$h$

A

$A$

— dal

@deinst: (+1) Hai un esempio in cui questa esponenziale rappresentazione familiare può essere sfruttata in modo diretto?

— Xi'an,

Forse non capisco bene il problema. Tuttavia, considera un vettore casuale bivariato con lo stesso marginale con pieno supporto su e con media . Come può un tale distribuzione bivariata avere correlazione vicino a -1, per esempio? Dal punto di vista euristico, anche se non l'ho realizzato, sembra che se , allora dovesse sorgere una contraddizione riguardo al supporto. No?

(X, Y)

$(X,Y)$

F

$F$

R_{+}

$\mathbb R_{+}$

0 < μ < \infty

$0 < \mu < \infty$

ρ

$\rho$

P (X > 2 μ) > 0

$\mathbb P(X > 2 \mu) > 0$

— cardinale

Esistono certamente vincoli sulla matrice di covarianza quando il supporto è , coperto dalla condizione del momento Stieltjes . Ad ogni modo, non vedo perché una correlazione vicina a -1 sia esclusa a priori .

Σ

$\Sigma$

R_{+}^{k}

$\mathbb{R}^k_+$

— Xi'an,

Bene, questo è legato a ciò a cui stavo arrivando. Per quanto riguarda la correlazione, considera il mio esempio. Se e hanno la stessa marginale con media e una correlazione esattamente di -1 e , quale deve essere il valore di per tutte queste realizzazioni di ? (+1 su entrambe le domande e le risposte. Mi piace.)

X

$X$

Y

$Y$

F

$F$

μ

$\mu$

P (X > 2 μ) > 0

$\mathbb P(X > 2 \mu) > 0$

Y

$Y$

X

$X$

— Cardinale

OK, questa è una risposta al commento di Xi'an. È troppo lungo e deve essere troppo TeX per essere un commento comodo. Avvertimento: è praticamente certo che ho fatto un errore di algebra. Questo non sembra essere abbastanza flessibile come pensavo inizialmente.

Creiamo una famiglia di distribuzioni in nella forma Sia e . Let è un polinomio di due termini in cui sono numeri reali maggiori di 0 per tutti . Quindi lo troviamo $\mathbb{R}_+^3$

f (x | θ) = h (x) e^{- θ^{T} x - A (θ)}

$f(\mathbf{x}|\mathbf\theta)=h(\mathbf{x})e^{-\mathbf\theta^T\mathbf{x}-A(\mathbf\theta)}$

x = (x, y, z)

$\mathbf{x}=(x,y,z)$

θ = (θ_{1}, θ_{2}, θ_{3})

$\mathbf\theta=(\theta_1,\theta_2,\theta_3)$

h (x) = c x_{1}^{e_{1} - 1} x_{2}^{e_{2} - 1} x_{3}^{e_{3} - 1} + d x_{1}^{f_{1} - 1} x_{2}^{f_{2} - 1} x_{3}^{f_{3} - 1}

$h(\mathbf{x})=c x_1^{e_1-1}x_2^{e_2-1}x_3^{e_3-1}+d x_1^{f_1-1}x_2^{f_2-1}x_3^{f_3-1}$

e_{i}, f_{i}

$e_i, f_i$

i

$i$

A (θ) = \log (c \frac{Γ (e_{1})}{θ_{1}^{e_{1}}} \frac{Γ (e_{2})}{θ_{2}^{e_{2}}} \frac{Γ (e_{3})}{θ_{3}^{e_{3}}} + d \frac{Γ (f_{1})}{θ_{1}^{f_{1}}} \frac{Γ (f_{2})}{θ_{2}^{f_{2}}} \frac{Γ (f_{3})}{θ_{3}^{f_{3}}}) .

$A(\mathbf\theta)=\log\left(c\frac{\Gamma(e_1)}{\theta_1^{e_1}}\frac{\Gamma(e_2)}{\theta_2^{e_2}}\frac{\Gamma(e_3)}{\theta_3^{e_3}}+d\frac{\Gamma(f_1)}{\theta_1^{f_1}}\frac{\Gamma(f_2)}{\theta_2^{f_2}}\frac{\Gamma(f_3)}{\theta_3^{f_3}}\right).$

Ora, per comodità, definiamo e

c^{'} = c Γ (e_{1}) Γ (e_{2}) Γ (e_{2}) θ_{1}^{f_{1}} θ_{2}^{f_{2}} θ_{3}^{f_{3}}

$c'=c\Gamma(e_1)\Gamma(e_2)\Gamma(e_2)\theta_1^{f_1}\theta_2^{f_2}\theta_3^{f_3}$

d^{'} = d Γ (f_{1}) Γ (f_{2}) Γ (f_{2}) θ_{1}^{e_{1}} θ_{2}^{e_{2}} θ_{3}^{e_{3}}

$d'=d\Gamma(f_1)\Gamma(f_2)\Gamma(f_2)\theta_1^{e_1}\theta_2^{e_2}\theta_3^{e_3}$

Ora, poiché la media della nostra distribuzione è il gradiente di , abbiamo , e . E poiché la covarianza è l'Assia di , abbiamo e (gli altri termini della matrice di covarianza ottenuti modificando i pedici in modo ovvio). $A$ $\mu_X=\frac{e_1c'+f_1d'}{\theta_1(c'+d')}$ $\mu_Y=\frac{e_2c'+f_2d'}{\theta_2(c'+d')}$ $\mu_Z=\frac{e_3c'+f_3d'}{\theta_3(c'+d')}$ $A$

σ_{X}^{2} = \frac{(e_{1} c^{'} + f_{1} d^{'}) (c^{'} + d^{'}) + (e_{1} - f_{1})^{2} c^{'} d^{'}}{θ_{1}^{2} (c^{'} + d^{'})^{2}}

$\sigma_X^2=\frac{(e_1c'+f_1d')(c'+d')+(e_1-f_1)^2c'd'}{\theta_1^2(c'+d')^2}$

Cov (X, Y) = \frac{(e_{1} - f_{1}) (e_{2} - f_{2}) c^{'} d^{'}}{θ_{1} θ_{2} (c^{'} + d^{'})}

$\text{Cov}(X,Y)=\frac{(e_1-f_1)(e_2-f_2)c'd'}{\theta_1\theta_2(c'+d')}$

Questa non sembra essere abbastanza flessibilità per ottenere una matrice di covarianza. Ho bisogno di provare un altro termine nel polinomio (ma sospetto che anche questo potrebbe non funzionare (ovviamente ho bisogno di pensarci più)).

— deinst
fonte

Quattro parametri per cinque vincoli ...?

(θ_{1}, θ_{2}, θ_{3}, c)

$(\theta_1,\theta_2,\theta_3,c)$

— Xi'an,

@xian Ci sono anche i 6 esponenti e .

e_{i}

$e_i$

f_{i}

$f_i$

— dal

Sono leggermente (?) Confuso: non hai elaborato gli esponenti come parametri della famiglia esponenziale. Ma in effetti puoi cambiare quei poteri come desideri per ottenere le equazioni dei 9 momenti giusti.

— Xi'an,

@ Xi'an Hai ragione, non li ho elaborati come parametri della famiglia esponenziale. In questo modo la famiglia non sarebbe più diventata una famiglia naturale, e includerli avrebbe solo confuso l'algebra per il calcolo delle equazioni del momento (che era abbastanza confuso per cominciare).

— dal