Che cos'è un "Informazioni preliminari sull'unità"?

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Ho letto Wagenmakers (2007) Una soluzione pratica al problema pervasivo dei valori di p . Sono incuriosito dalla conversione dei valori BIC in fattori e probabilità di Bayes. Tuttavia, finora non ho una buona comprensione di cosa siano esattamente le informazioni di un'unità precedenti . Sarei grato per una spiegazione con immagini, o il codice R per generare immagini, di questo particolare precedente.

— Matt Albrecht
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Il precedente delle informazioni sull'unità è un precedente dipendente dai dati, (in genere Normale multivariato) con media all'MLE e precisione pari alle informazioni fornite da un'osservazione. Vedi ad esempio questo rapporto tecnico o questo documento per tutti i dettagli. L'idea dell'UIP è quella di dare un precedente che "lascia che i dati parlino da soli"; nella maggior parte dei casi l'aggiunta del precedente che ti dice quanto un'osservazione centrata dove gli altri dati 'puntano' avrà un impatto limitato sull'analisi successiva. Uno dei suoi usi principali è mostrare che l'uso del BIC corrisponde, in grandi campioni, all'uso dei fattori di Bayes, con UIP sui loro parametri.

Probabilmente vale anche la pena notare che molti statisti (compresi i bayesiani) sono a disagio con l'uso dei fattori di Bayes e / o BIC, per molti problemi applicati.

— ospite
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BIC non è uno strumento bayesiano, in quanto rimuove l'impatto del precedente. Come bayesiano, mi trovo a mio agio con i fattori di Bayes, ma non con AIC, BIC o DIC!

— Xi'an,

Bene, non ho mai detto che lo fosse! Come bayesiano (che ha letto e apprezza la scelta bayesiana) sarei contento di uno di questi metodi se avessero una giustificazione teorica-decisiva, anche approssimativamente, per un'utilità che riflettesse ciò che volevo ottenere dall'analisi.

— ospite

Grazie per le risposte Ho fatto una domanda di follow-up qui

— Matt Albrecht,

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Le informazioni precedenti sull'unità si basano sulla seguente interpretazione della coniugazione:

Impostare

Dati normali: con $X^{n}=(X_{1}, \ldots, X_{n})$ $X_{i} \sim \mathcal{N}( \mu, \sigma^{2})$ $\mu$ $\sigma^2$ $\bar{X} \sim \mathcal{N}(\mu, \tfrac{\sigma^{2}}{n} )$
$\mu$ $\mu \sim \mathcal{N} (a, \sigma^{2})$
$\mu$ $\mu \sim \mathcal{N} (M, v)$ $M=\tfrac{1}{n+1}(a + n \bar{x})$ $v= \tfrac{\sigma^2}{n+1}$

Interpretazione

$\bar{X}=\bar{x}$ $\mu$ $\bar{x}$ $a$ $\tfrac{\sigma^{2}}{n+1}$ $n+1$ $n$ $\bar{x}$ $a$

$M_{0}:\mu=a$ $M_{1}: \mu \in \mathbf{R}$ $n$

Alcune osservazioni:

Il fatto che il BIC approssimi un fattore di Bayes sulla base di un'informazione di unità precedente, non implica che dovremmo usare un'informazione di unità prima di costruire un fattore di Bayes. La scelta predefinita di Jeffreys (1961) è di usare un Cauchy prima della dimensione dell'effetto, vedi anche Ly et al. (in corso di stampa) per una spiegazione sulla scelta di Jeffreys.
Kass e Wasserman hanno mostrato che il BIC diviso per una costante (che collega il Cauchy a una distribuzione normale) può ancora essere usato come approssimazione del fattore Bayes (questa volta basato su un precedente di Cauchy invece che su uno normale).

Riferimenti

Jeffreys, H. (1961). Teoria della probabilità . Oxford University Press, Oxford, UK, 3 edizione.
Kass, RE e Wasserman, L. (1995). "Un test bayesiano di riferimento per le ipotesi nidificate e la sua relazione con il criterio di Schwarz", Journal of American Statistical Association , 90, 928-934
Ly, A., Verhagen, AJ e Wagenmakers, E.-J. (in stampa). Test di ipotesi del fattore Bayes predefiniti di Harold Jeffreys: spiegazione, estensione e applicazione in psicologia. Giornale di psicologia matematica.

— Alexander Ly
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