Prova che se esiste un momento superiore, esiste anche un momento inferiore


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Il momento di una variabile casuale è finito se \ mathbb E (| X ^ r |) <\ infty rX

E(|Xr|)<

Sto cercando di mostrare che per qualsiasi numero intero positivo s<r , allora anche il momento s -th E[|Xs|] è finito.


Sono compiti? In tal caso, cosa hai provato finora? Inoltre, ho cercato di rendere la tua domanda più leggibile, per favore fammi sapere se ho fatto un errore.
Gschneider,

Ho letto il libro di Billingsley e ho cercato su Internet ma non esiste alcuna prova esatta. Quello che ho trovato è solo un indizio, forse la disuguaglianza di Jensen può essere utilizzata.
nona,

1
Valuta di riscrivere |Xr|come |XsXrs|e vedere se questo ti porta ovunque.
Gschneider,

3
C'è una differenza tra un momento esistente e l'essere finito . In particolare, può esistere un momento, ma essere infinito. La terminologia a cui ti stai presentando è un po 'imprecisa. In ogni caso, questo è un risultato standard sugli spazi Lp ; non è vero che "non esiste alcuna prova esatta". :)
cardinale

Risposte:


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0<s<rX|X|smax(1,|X|r)


Belle. Puoi anche dimostrarlo con l'aiuto della disuguaglianza di Jensen.
Stéphane Laurent,

8
(+1) Mi piace perché si basa solo sulle proprietà più elementari dell'attesa, vale a dire la monotonia. Nel caso in cui uno sia preoccupato di cosa fare con il lato destro, possono notare che . Se si preferisce un'applicazione di Jensen, possono scrivere e notare che . max(1,|X|r)1+|X|r|X|r=(|X|s)r/sr/s1
cardinale il

1
@cardinal: (+1) Preferisco la tua disuguaglianza in quanto coinvolge direttamente ...|X|r
Xi'an,
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