Prova che se esiste un momento superiore, esiste anche un momento inferiore

Il momento di una variabile casuale è finito se $r$ $X$

E (| X^{r} |) < \infty

$\mathbb E(|X^r|)< \infty$

Sto cercando di mostrare che per qualsiasi numero intero positivo $s<r$ , allora anche il momento $s$ -th $\mathbb E[|X^s|]$ è finito.

self-study moments function

— Nona
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Sono compiti? In tal caso, cosa hai provato finora? Inoltre, ho cercato di rendere la tua domanda più leggibile, per favore fammi sapere se ho fatto un errore.

— Gschneider,

Ho letto il libro di Billingsley e ho cercato su Internet ma non esiste alcuna prova esatta. Quello che ho trovato è solo un indizio, forse la disuguaglianza di Jensen può essere utilizzata.

— nona,

Valuta di riscrivere

| X^{r} |

$|X^r|$ come

| X^{s} \cdot X^{r - s} |

$|X^s \cdot X^{r-s}|$ e vedere se questo ti porta ovunque.

— Gschneider,

C'è una differenza tra un momento esistente e l'essere finito . In particolare, può esistere un momento, ma essere infinito. La terminologia a cui ti stai presentando è un po 'imprecisa. In ogni caso, questo è un risultato standard sugli spazi

L_{p}

$L_p$ ; non è vero che "non esiste alcuna prova esatta". :)

— cardinale

$0<s<r \Longrightarrow \forall X \, |X|^s \le \max(1, |X|^r)$

— Stask
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Belle. Puoi anche dimostrarlo con l'aiuto della disuguaglianza di Jensen.

— Stéphane Laurent,

(+1) Mi piace perché si basa solo sulle proprietà più elementari dell'attesa, vale a dire la monotonia. Nel caso in cui uno sia preoccupato di cosa fare con il lato destro, possono notare che . Se si preferisce un'applicazione di Jensen, possono scrivere e notare che .

max (1, | X |^{r}) \leq 1 + | X |^{r}

$\max(1,|X|^r) \leq 1 + |X|^r$

| X |^{r} = (| X |^{s})^{r / s}

$|X|^r = (|X|^s)^{r/s}$

r / s \geq 1

$r/s \geq 1$

— cardinale il

@cardinal: (+1) Preferisco la tua disuguaglianza in quanto coinvolge direttamente ...

| X |^{r}

$|X|^r$

— Xi'an,