Perché il valore atteso si chiama così?

Capisco come otteniamo 3,5 come valore atteso per tirare un dado a 6 facce. Ma intuitivamente, posso aspettarmi che ogni faccia abbia pari probabilità di 1/6.

Quindi il valore atteso di tirare un dado non dovrebbe essere uno dei numeri tra 1-6 con uguale probabilità?

In altre parole, quando viene posta la domanda "qual è il valore atteso del lancio di un dado a 6 facce giusto?", Si dovrebbe rispondere "oh, può essere qualsiasi cosa tra 1 e 6 con uguale probabilità". Invece è 3.5.
Intuitivamente nel mondo reale, qualcuno può spiegare come 3,5 sia il valore che dovrei aspettarmi dal lancio di un dado?
Ancora una volta non voglio la formula o la derivazione per l'aspettativa.

Immagina di essere a Parigi nel 1654 e tu e il tuo amico state osservando un gioco d'azzardo basato sul lancio sequenziale di un dado a sei facce. Ora, il gioco d'azzardo è altamente illegale e i busti del gendarme sono abbastanza frequenti e essere sorpresi a un tavolo con pile di livre significa quasi sicuramente garantire un lungo periodo nel castello d'If.

Per ovviare a questo, tu e il tuo amico avete un accordo da gentiluomo su una scommessa fatta tra voi due prima dell'ultimo lancio di dadi. Si impegna a pagarti cinque livre se osservi due sei nei successivi cinque tiri di dado e accetti di pagargli lo stesso importo se ne vengono lanciati due, senza altra azione se queste combinazioni non si presentano.

Ora, l'ultimo tiro di dado è un sei, quindi sei sul bordo del tuo sedile, in senso figurato. In questo momento, guardie pesantemente armate irruppero nella tana e arrestarono tutti al tavolo, e la folla si disperde.

Il tuo amico crede che la scommessa fatta tra di voi ora sia invalidata. Tuttavia, tu credi che dovrebbe pagarti un po 'di importo poiché uno era già stato lanciato. Qual è il modo giusto di risolvere questa disputa tra voi due?

(Questa è la mia interpretazione delle origini del valore atteso come presentato qui e discusso in maggior dettaglio qui )

Rispondiamo a questa domanda di valore equo in modo non rigoroso. L'importo che il tuo amico dovrebbe pagare può essere calcolato nel modo seguente. Considera tutti i possibili tiri di quattro dadi. Alcuni set di rotoli (vale a dire quelli contenenti almeno un sei) comporteranno il pagamento da parte del tuo amico dell'importo concordato. Tuttavia, su altri set (vale a dire quelli che non contengono un solo sei), non otterrai denaro. Come si bilancia la possibilità che si verifichino questi due tipi di tiri? Semplice, calcola la media dell'importo che ti sarebbe stato pagato su TUTTI i rotoli possibili.

Tuttavia, il tuo amico (abbastanza improbabile), può ancora vincere la sua scommessa! Devi considerare il numero di volte in cui due saranno lanciati nei restanti quattro dadi e calcolare la media dell'importo che dovrai pagare sul numero di tutti i possibili tiri di quattro dadi. Questo è l'importo giusto che dovresti pagare al tuo amico per la sua scommessa. Quindi l'importo che si ottiene è l'importo che il tuo amico dovrebbe pagarti, meno quello che dovresti pagare al tuo amico.

Questo è il motivo per cui lo chiamiamo "valore atteso". È l'importo medio che ti aspetti di ricevere se sei in grado di simulare un evento che si verifica in più universi simultanei.

Ottima domanda È più sottile di quanto sembri all'inizio. Ha a che fare con l' evento casuale e la variabile casuale (numero, valore). La tua confusione deriva dal mescolare insieme questi due concetti correlati ma distinti.

Cominciamo con un evento. Dal modo in cui hai formulato la tua domanda, sembra che tu consideri il risultato di un lancio di dadi un evento. È casuale, quindi potresti ottenere una delle sue sei parti con le stesse probabilità, come hai scritto. Ha un senso perfetto.

Qual è il valore atteso di questo esperimento? Le aspettative sono definite per variabili casuali (valori) non eventi. Per te i numeri da 1 a 6 sui dadi sono semplicemente i modi per distinguerne i lati (nel contesto della formulazione della tua domanda). Immagina di usare invece lettere: A, B, C, D, E e F. Sostituisci i numeri con le lettere e ripeti la domanda come segue:

In altre parole, quando viene posta la domanda "Qual è il valore atteso di lanciare un dado a 6 facce giusto?", Si dovrebbe rispondere "oh, può essere qualsiasi cosa tra A e F con pari probabilità"

Ora prova a trovare un valore atteso. Non è definito!

Le aspettative vengono visualizzate quando si definiscono valori casuali, come 1 a 6. Si mappano i valori allo spazio eventi, ad esempio, si definisce che il lato A è 1, il lato B è 2 ecc. Ora si hanno 6 numeri e si può calcola l'aspettativa, che risulta essere 3.5.

"Ciascuno dei valori equamente probabili", o "qualche valore molto probabilmente" è la definizione della modalità, non il valore atteso.

Immagina di giocare a un lancio di monete. Ogni volta che lancio teste, ti do 1 $ , ogni volta che lancio code, tu mi dai 1 $ . Quanti soldi ti aspetteresti di vincere o perdere nel lungo periodo ? Gli importi sono uguali, le probabilità di lanciarli sono uguali, il valore atteso è zero.

Il valore atteso si chiama così perché se si calcola la media di tutti i tiri di dado ci si aspetta di ottenere questo valore atteso nel lungo periodo . Il valore atteso non è correlato ad alcun tiro di dadi singolo.

Da un punto di vista storico, il concetto sembrava apparire in diversi paesi, quindi considererei l'uso di questa parola come una comoda convergenza tra concetti simili attraverso le lingue.

Il mio punto di partenza è stato l'eccellente utilizzo dei simboli nella probabilità e nella statistica :

Aspettativa. Una grande sceneggiatura E fu usata per le aspettative nel noto libro di testo di Whitworth Choice and Chance (quinta edizione) del 1901, ma né il simbolo né il calcolo delle aspettative furono stabiliti nella letteratura inglese fino a molto tempo dopo. Ad esempio, Rietz Mathematical Statistics (1927) usò il simbolo E e commentò che "il valore atteso della variabile è un concetto che è stato molto usato da vari scrittori dell'Europa continentale ..." Per gli scrittori dell'Europa continentale E significava "Erwartung" o " espérance (nota del redattore: mathématique) ."

Il termine è talvolta "attribuito a" Huyghens, che è discusso in Huygens Foundations Of Probability :

È generalmente accettato che Huygens abbia basato la probabilità sulle aspettative. Il termine "aspettativa", tuttavia, deriva dalla traduzione latina di Van-Schooten del trattato di Huygens. Una traduzione letterale del testo olandese di Huygens mostra più chiaramente cosa intendesse realmente Huygens e come procedesse.

Ulteriori dettagli riguardo a Fermat, Pascal possono essere trovati in Expectation e nei primi probabilisti .

È interessante notare che il concetto più generale del valore atteso è la posizione . Pertanto, il concetto di valore atteso ha implicazioni sottili che sono alquanto confuse.

$\leq 3$$\$1$$\geq 4$ perde $ 1, funziona così come una media, con il vantaggio di avere effettivamente risultati in questo universo.

La ragione dell'associazione eccessivamente limitata tra il termine "valore atteso" e "valore medio" sembra essere storica piuttosto che semanticamente corretta, o anche particolarmente convincente. Ossia, il contesto in cui un valore atteso calcolato è coerente con le aspettative di una posizione che caratterizza il comportamento in un set di dati è limitato solo a determinate distribuzioni di dati e non ad altri.

$f$ si applica quindi a Chebyshev 1887. Tale è la forza del teorema del limite centrale che è diventata un'espressione tra parentesi per associare il valore atteso a un valore medio, al contrario di una misura più generale della posizione.

Ma che dire delle distribuzioni di dati che non sono normali per le quali altre misure sono più stabili e / o più rappresentative di tali dati? Ad esempio, il valore medio o il valore estremo medio dei dati da una distribuzione uniforme è più preciso e stabile, cioè preciso e converge più velocemente della media o della mediana di tale distribuzione. Per le distribuzioni log-normali, ad es. (Gran parte del trattamento dei) dati sul reddito, l'anti-log della media del logaritmo dei dati ( media geometrica AKA$\alpha \beta ^{\alpha } t^{-\alpha -1}$$\alpha \leq 1$$\alpha \leq 1$$\alpha \gt 1$