Errori normalmente distribuiti e teorema del limite centrale

Nell'economia introduttiva di Wooldridge c'è una citazione:

L'argomento che giustifica la distribuzione normale degli errori di solito esegue qualcosa del genere: poiché la somma di molti diversi fattori non osservati che influenzano , possiamo invocare il teorema del limite centrale per concludere che una distribuzione normale approssimativa.$u$$y$$u$

Questa citazione si riferisce a una delle ipotesi del modello lineare, vale a dire:

$u \sim N(μ, σ^2)$

dove $u$ è il termine di errore nel modello di popolazione.

Ora, per quanto ne so, il Teorema del limite centrale afferma che la distribuzione di

$Z_i=(\overline{Y_i}-μ)/(σ/√n)$

(dove $\overline{Y_i}$ sono medie di campioni casuali prelevati da qualsiasi popolazione con media $μ$ e varianza $σ^2$ )

si avvicina a quello di una variabile normale standard come $n \rightarrow \infty$ .

Domanda:

Aiutami a capire come la normalità asintotica di $Z_i$ implica $u \sim N(μ, σ^2)$

Questo può essere meglio apprezzato esprimendo il risultato di CLT in termini di somme di variabili casuali iid. abbiamo

$$\sqrt{n} \frac{ \bar{X} -\mu}{\sigma} \sim N(0, 1) \quad \text{asymptotically}$$

Moltiplica il quoziente per e usa il fatto che per ottenere$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$Var(cX) = c^2 Var(X)$

$$\bar{X}-\mu \sim N\left(0, \frac{\sigma^2}{n} \right)$$

Ora aggiungi a LHS e usa il fatto che per ottenere$\mu$$\mathbb{E} \left[a X+\mu\right] = a \mathbb{E}[X] + \mu$

$$\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n} \right)$$

Infine, moltiplica per e usa i due risultati precedenti per vederlo$n$

$$\sum_{i=1}^n X_i \sim N \left(n \mu, n\sigma^2 \right)$$

E cosa c'entra questo con l'affermazione di Wooldridge? Bene, se l'errore è la somma di molte variabili casuali iid, allora sarà distribuito approssimativamente normalmente, come appena visto. Ma c'è un problema qui, vale a dire che i fattori non osservati non saranno necessariamente distribuiti in modo identico e potrebbero anche non essere indipendenti!

Tuttavia, il CLT è stato esteso con successo a variabili casuali indipendenti non identicamente distribuite e persino a casi di lieve dipendenza, in alcune condizioni di regolarità aggiuntive. Queste sono essenzialmente condizioni che garantiscono che nessun termine nella somma eserciti un'influenza sproporzionata sulla distribuzione asintotica, vedere anche la pagina di Wikipedia sul CLT . Non è necessario conoscere questi risultati ovviamente; L'obiettivo di Wooldridge è semplicemente quello di fornire intuizione.

Spero che sia di aiuto.