Se

Mi sono imbattuto in una prova per una delle proprietà del modello ARCH che dice che se $\mathbb{E}(X_t^2) < \infty$ , allora $\{X_t\}$ è stazionario iff $\sum_{i=1}^pb_i < 1$ dove il modello ARCH è:

$X_t = \sigma_t\epsilon_t$

$\sigma_t^2 = b_0 + b_1X_{t-1}^2 + ... b_pX_{t-p}^2$

L'idea principale della dimostrazione è mostrare che può essere scritto come un processo AR (p) e se ∑ p i = 1 b i < 1 è vero, allora tutte le radici del polinomio caratteristico si trovano al di fuori del cerchio unitario e quindi { X 2 t } è stazionario. Quindi dice che quindi { X t } è stazionario. Come segue?$X_t^2$$\sum_{i=1}^pb_i < 1$$\{X_t^2\}$$\{X_t\}$

Dalla sezione data capisco come potresti vedere che la stazionarietà di implica la stazionarietà di X t ma in realtà implica solo una varianza costante di X t .$X^2_t$$X_t$ $X_t$

Gli autori di quella dimostrazione stavano usando la stazionarietà di per completare un argomento che avevano iniziato prima guardando i momenti incondizionati di X $X^2_t$$X_t$

Ricordate le condizioni ordine stazionarietà:$2^{nd}$

1. ∀ t ∈ $E(X_t)<\infty$ $\forall_{t\in Z}$
2. ∀ t ∈ $Var(X_t) = m$ $\forall_{t\in Z}$
3. ∀ h ∈ $Cov(X_t,X_{t+h})= \gamma_x(h)$ $\forall_{h\in Z}$

La condizione 1 è stata dimostrata da $E(X_t)=E(E(X_t|F_{t-1}))=0$

La condizione 3 è stata dimostrata da $E(X_tX_{t-1})=E(\sigma_t\epsilon_t\sigma_{t-1}\epsilon_{t-1})=E(E(\sigma_t\epsilon_t\sigma_{t-1}\epsilon_{t-1})|F_{t-1})=E(\sigma_{t}\sigma_{t-1}E(\epsilon_{t-1}\epsilon_{t})|F_{t-1}))=0$

But to prove the second condition they needed to prove a constant unconditional variance of $X_t$

$Var(X_{t})=Var(X_{t-1})=Var(X_{t-2})=...=m$

This is what leads to an assumption of stationarity of $X^2_{t}$ which you have mentioned uses its $AR(p)$ form. In brief:

$$\begin{align*} Var(X_{t})=&E(Var(X_{t})|F_{t-1}) + Var(E(X_t|F_{t-1}))\\ =&E(Var(u_t|F_{t-1}))\quad because\: the\: last\: term\: is\: 0\\ =&E(b_0 + b_1X_{t-1}^2 + ... b_pX_{t-p}^2)\\ =& b_0 + b_1E(X_{t-1}^2) + ... b_pE(X_{t-p}^2)\\ =&b_0 + b_1var(X_{t-1}) + ... b_pvar(X_{t-p}) \end{align*}$$ If X^2_t is stationary then the roots of the polynomial would lie out of the unit circle and $\Sigma b_i<1$ This makes it possible to write: $$var(X_{t-1})=... = var(X_{t-p})= \frac{b_0}{1-b_1-...-b_p} \quad which\quad is \quad alas\quad constant!$$