La media geometrica è uno stimatore imparziale della media di quale distribuzione continua?

Esiste una distribuzione continua esprimibile in forma chiusa, la cui media è tale che la media geometrica dei campioni è uno stimatore imparziale per quella media?

Aggiornamento: mi sono appena reso conto che i miei campioni devono essere positivi (altrimenti la media geometrica potrebbe non esistere) quindi forse continuo non è la parola giusta. Che ne dici di una distribuzione che è zero per i valori negativi della variabile casuale ed è continua per i valori positivi. Qualcosa come una distribuzione troncata.

distributions geometric-mean

— user53608
fonte

Una distribuzione può essere continua pur avendo uno spazio di campionamento strettamente positivo (ad esempio la distribuzione gamma).

— Gammer

Intendi anche un esempio in cui la media geometrica di un campione è uno stimatore imparziale del primo momento? Ho sempre visto la media geometrica di un insieme discreto di dati definito e incerto su come la media geometrica "vera" (cioè a livello di popolazione) sarebbe definita per una distribuzione continua ... Forse ?

e x p (E (\log (X)))

${\rm exp}( E(\log(X)) )$

— Gammer

Funziona per la distribuzione lognormale.

— Michael R. Chernick,

Determina se la variabile casuale uguale a una costante scalare positiva quasi sicuramente . Non altrimenti.

X

$X$

c

$c$

— Matthew Gunn,

Risposte:

Credo che tu stia chiedendo quale sia, se esiste, la distribuzione di un rv , in modo tale che, se avremo un campione iid di dimensione da quella distribuzione, si terrà che $X$ $n>1$

E [G M] = E [{(\prod_{i = 1}^{n} X_{i})}^{1 / n}] = E (X)

$E[GM] = E\left[\left(\prod_{i=1}^n X_{i}\right)^{1/n}\right] = E(X)$

A causa dell'ipotesi IID , abbiamo

E [{(\prod_{i = 1}^{n} X_{io})}^{1 / n}] = E (X_{1}^{1 / n} \cdot . . . \cdot X_{n}^{1 / n}) = E (X_{1}^{1 / n}) \cdot . . . \cdot E (X_{n}^{1 / n}) = {[E (X^{1 / n})]}^{n}

$E\left[\left(\prod_{i=1}^n X_{i}\right)^{1/n}\right] = E\left(X_1^{1/n}\cdot ...\cdot X_n^{1/n}\right) = E\left (X_1^{1/n}\right)\cdot ...\cdot E\left(X_n^{1/n}\right) = \left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n$

e quindi stiamo chiedendo se possiamo avere

{[E (X^{1 / n})]}^{n} = E (X)

$\left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n = E(X)$

Ma dalla disuguaglianza di Jensen e dal fatto che la funzione di potere è strettamente convessa per poteri superiori all'unità, abbiamo quella, quasi sicuramente per una variabile casuale non degenerata (non costante),

{[E (X^{1 / n})]}^{n} < E {[(X^{1 / n})]}^{n} = E (X)

$\left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n < E\left[\left(X^{1/n}\right)\right]^n = E(X)$

Quindi non esiste tale distribuzione.

Per quanto riguarda la menzione della distribuzione log-normale in un commento, ciò che sostiene è che la media geometrica ( ) del campione da una distribuzione log-normale è uno stimatore distorto ma asintoticamente coerente della mediana . Questo perché, per la distribuzione lognormale, lo detiene $GM$

E (X^{S}) = \exp {S μ + \frac{S^{2} σ^{2}}{2}}

$E(X^s) = \exp\left\{s\mu + \frac {s^2\sigma^2}{2}\right \}$

(dove e sono i parametri della normale sottostante, non la media e la varianza della log-normale). $\mu$ $\sigma$

Nel nostro caso, quindi otteniamo $s = 1/n$

E (sol M) = {[E (X^{1 / n})]}^{n} = {[\exp {(μ / n) + \frac{σ^{2}}{2 n^{2}}}]}^{n} = \exp {μ + \frac{σ^{2}}{2 n}}

$E(GM) = \left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n = \left[\exp\left\{(\mu/n) + \frac {\sigma^2}{2n^2}\right \}\right]^n = \exp\left\{\mu + \frac {\sigma^2}{2n}\right \}$

(che ci dice che è uno stimatore distorto della mediana). Ma

lim {[E (X^{1 / n})]}^{n} = lim \exp {μ + \frac{σ^{2}}{2 n}} = e^{μ}

$\lim \left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n = \lim \exp\left\{\mu + \frac {\sigma^2}{2n}\right \} = e^{\mu}$

che è la mediana della distribuzione. Si può anche dimostrare che la varianza della media geometrica del campione converge a zero e queste due condizioni sono sufficienti affinché questo stimatore sia asintoticamente coerente - per la mediana,

sol M \to_{p} e^{μ}

$GM \to_p e^{\mu}$

— Alecos Papadopoulos
fonte

Forse si dovrebbe aggiungere che la disuguaglianza di Jensen, applicata con una funzione strettamente convessa, è un'uguaglianza solo se è altrettanto costante.

X

$X$

— Olivier,

@Olivier: penso che sia una proprietà ben nota che potrebbe solo aggiungere disordine per includerla. In ogni caso , la disuguaglianza di Jensen non è nemmeno necessaria poiché il caso è già abbastanza accoppiato al fatto implica quasi sicuramente da un argomento ancora più elementare.

n = 2

$n = 2$

V a r (X) = 0

$\mathrm{Var}(X) = 0$

X = 0

$X = 0$

— cardinale

Questo è un argomento simile all'eccellente risposta di Alecos poiché la media aritmetica, la disuguaglianza media geometrica è una conseguenza della disuguaglianza di Jensen.

Sia la media aritmetica: $A_n$ $A_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$
Lascia che sia la media geometrica: $G_n$ $G_n = \left( \prod_{i=1} X_i \right) ^ \frac{1}{n}$

La media aritmetica, la disuguaglianza media geometrica afferma che con uguaglianza se e solo se ogni osservazione è uguale: . (La disuguaglianza AMGM è una conseguenza della disuguaglianza di Jensen .) $A_n \geq G_n$ $X_1 = X_2 = \ldots = X_n$

Caso 1: quasi sicuramente $X_1 = X_2 = \ldots = X_n$

Quindi . $\operatorname{E}[G_n] = \operatorname{E}[A_n] = \operatorname{E}[X]$

In un certo senso, questo è un caso del tutto degenerato.

Caso 2: per $P(X_i \neq X_j) > 0$ $i\neq j$

Quindi c'è una probabilità positiva che la media geometrica sia più piccola della media aritmetica. Poiché per tutti i risultati e , abbiamo quindi . $G_n \leq A_n$ $\operatorname{E}[A_n] = \operatorname{E}[X]$ $\operatorname{E}[G_n] < \operatorname{E}[X]$

— Matthew Gunn
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La media geometrica è uno stimatore imparziale della media di quale distribuzione continua?

Caso 1: quasi sicuramenteX1= X2= … = XnX1=X2=...=XnX_1 = X_2 = \ldots = X_n

Caso 2: perP( Xio≠ Xj) > 0P(Xio≠Xj)>0P(X_i \neq X_j) > 0io ≠ jio≠ji\neq j

Caso 1: quasi sicuramente $X_1 = X_2 = \ldots = X_n$

Caso 2: per $P(X_i \neq X_j) > 0$ $i\neq j$