Jeffreys prima per la probabilità binomiale

Se uso un Jeffreys preventiva per un binomio parametro di probabilità allora questo implica l'utilizzo di un di distribuzione. $\theta$ $\theta \sim beta(1/2,1/2)$

Se trasformo in un quadro di riferimento quindi chiaramente non viene distribuito anche come distribuzione. $\phi = \theta^2$ $\phi$ $beta(1/2,1/2)$

La mia domanda è: in che senso Jeffreys è invariante prima delle riparameterizzazioni? Penso di aver frainteso l'argomento per essere onesto ...

Migliore,

Ben

bayesian jeffreys-prior

— ben18785
fonte

Il priore di Jeffreys è invariante nel senso che iniziare con un priore di Jeffreys per una parametrizzazione ed eseguire la modifica appropriata della variabile è identico a derivare il priore di Jeffreys direttamente per questa nuova parametrizzazione. In realtà, equivariante sarebbe un termine più appropriato che invariante .

— Xi'an,

@ ben18785: dai un'occhiata a stats.stackexchange.com/questions/38962/…

— Zen

Vedi anche math.stackexchange.com/questions/210607/… (più o meno la stessa domanda penso, ma su un sito diverso).

— Nathaniel,

Vedi anche stats.stackexchange.com/questions/139001/…

— Christoph Hanck

$\phi = g(\theta)$ $g$ $\theta$ $h$ $g$ $\theta = h(\phi)$ $p_{J}(\phi)$

Inizia con il modello binomiale (1) riclassifica il modello con per ottenere e ottieni la distribuzione precedente di Jeffrey per questo modello. $p (y | θ) = (\binom{n}{y}) θ^{y} (1 - θ)^{n - y}$ $\begin{equation} \label{original} p(y | \theta) = \binom{n}{y} \theta^{y} (1-\theta)^{n-y} \end{equation}$ $\phi = g(\theta)$ $p (y | ϕ) = (\binom{n}{y}) h (ϕ)^{y} (1 - h (ϕ))^{n - y}$ $p(y | \phi) = \binom{n}{y} h(\phi)^{y} (1-h(\phi))^{n-y}$ $p_{J}(\phi)$
Ottieni la distribuzione precedente di Jeffrey dal modello binomiale originale 1 e applica la modifica della formula delle variabili per ottenere la densità precedente indotta su $p_{J}(\theta)$ $\phi$ $p_{J} (ϕ) = p_{J} (h (ϕ)) | \frac{d h}{d ϕ} | .$ $p_{J}(\phi) = p_{J}(h(\phi)) |\frac{dh}{d\phi}|.$

Essere invarianti alle riparameterizzazioni significa che le densità derivate in entrambi i modi dovrebbero essere uguali. Il priore di Jeffrey ha questa caratteristica [Riferimento: un primo corso in metodi statistici bayesiani di P. Hoff .] $p_{J}(\phi)$

Per rispondere al tuo commento. Per ottenere la distribuzione precedente di Jeffrey dalla probabilità per il modello binomiale dobbiamo calcolare le informazioni di Fisher prendendo il logaritmo della probabilità e calcolare la seconda derivata di e le informazioni di Fisher sono $p_{J}(\theta)$

p (y | θ) = (\binom{n}{y}) θ^{y} (1 - θ)^{n - y}

$p(y | \theta) = \binom{n}{y} \theta^{y} (1-\theta)^{n-y}$

l

$l$

l

$l$

\begin{aligned} l := \log (p (y | θ)) & \propto y \log (θ) + (n - y) \log (1 - θ) \\ \frac{\partial l}{\partial θ} & = \frac{y}{θ} - \frac{n - y}{1 - θ} \\ \frac{\partial^{2} l}{\partial θ^{2}} & = - \frac{y}{θ^{2}} - \frac{n - y}{(1 - θ)^{2}} \end{aligned}

$\begin{align*} l := \log(p(y | \theta)) &\propto y \log(\theta) + (n-y) \log(1-\theta) \\ \frac{\partial l }{\partial \theta} &= \frac{y}{\theta} - \frac{n-y}{1-\theta} \\ \frac{\partial^{2} l }{\partial \theta^{2}} &= -\frac{y}{\theta^{2}} - \frac{n-y}{ (1-\theta)^{2} } \end{align*}$

\begin{aligned} I (θ) & = - E (\frac{\partial^{2} l}{\partial θ^{2}} | θ) \\ = \frac{n θ}{θ^{2}} + \frac{n - n θ}{(1 - θ)^{2}} \\ = \frac{n}{θ (1 - θ)} \\ \propto θ^{- 1} (1 - θ)^{- 1} . \end{aligned}

$\begin{align*} I(\theta) &= -E(\frac{\partial^{2} l }{\partial \theta^{2}} | \theta) \\ &= \frac{n\theta}{\theta^{2}} + \frac{n - n \theta}{(1-\theta)^{2}} \\ &= \frac{n}{\theta ( 1- \theta)} \\ &\propto \theta^{-1} (1-\theta)^{-1}. \end{align*}$ Il precedente di Jeffrey per questo modello è che è .

\begin{aligned} p_{J} (θ) & = \sqrt{I (θ)} \\ \propto θ^{- 1 / 2} (1 - θ)^{- 1 / 2} \end{aligned}

$\begin{align*} p_{J}(\theta) &= \sqrt{I(\theta)} \\ &\propto \theta^{-1/2} (1-\theta)^{-1/2} \end{align*}$

beta (1 / 2, 1 / 2)

$\texttt{beta}(1/2, 1/2)$

— Marko Lalović
fonte

Grazie per la tua risposta. Temo di essere un po 'lento però. In che senso possiamo ottenere un precedente da una probabilità? Sono due cose separate, e la seconda non implica la prima ...

— ben18785

Ho risposto sopra ottenendo un precedente Jeffrey dalla probabilità per il modello binomiale.

p_{J} (θ)

$p_{J}(\theta)$

— Marko Lalović,