Qual è la differenza tra PCA e PCA asintotico?

In due articoli del 1986 e del 1988 , Connor e Korajczyk hanno proposto un approccio alla modellizzazione dei rendimenti delle attività. Dato che queste serie temporali di solito hanno più risorse rispetto alle osservazioni sul periodo, hanno proposto di eseguire un PCA sulle covarianze trasversali dei rendimenti delle attività. Chiamano questo metodo Asymptotic Principal Component Analysis (APCA, che è piuttosto confuso, poiché il pubblico pensa immediatamente alle proprietà asintotiche della PCA).

Ho elaborato le equazioni e i due approcci sembrano numericamente equivalenti. Gli asintotici ovviamente differiscono, poiché la convergenza è dimostrata per piuttosto che . La mia domanda è: qualcuno ha usato APCA e confrontato con PCA? Ci sono differenze concrete? Se sì, quali?T → $N \rightarrow \infty$$T \rightarrow \infty$

Non c'è assolutamente alcuna differenza.

Non c'è assolutamente alcuna differenza tra PCA standard e ciò che C&K ha suggerito e chiamato "PCA asintotico". È abbastanza ridicolo dargli un nome separato.

Ecco una breve spiegazione di PCA. Se i dati centrati con campioni in righe sono memorizzati in una matrice di dati , PCA cerca autovettori della matrice di covarianza $\mathbf X$e proietta i dati su questi autovettori per ottenere i componenti principali. Equivalentemente, si può considerare una matrice Gram,$\frac{1}{N}\mathbf X^\top \mathbf X$$\frac{1}{N}\mathbf X \mathbf X^\top$

Mi sembra che ciò che C&K ha suggerito sia calcolare gli autovettori della matrice Gram al fine di calcolare i componenti principali. Bene, wow. Questo non è "equivalente" a PCA; esso è PCA.

Per aggiungere confusione, il nome "PCA asintotico" sembra riferirsi alla sua relazione con l'analisi dei fattori (FA), non con PCA! I documenti originali di C&K sono in paywall, quindi ecco un preventivo di Tsay, Analysis of Financial Time Series, disponibile su Google Libri:

$k$$\to \infty$

$k \to \infty$

• C'è qualche buona ragione per usare PCA invece di EFA? Inoltre, PCA può essere un sostituto dell'analisi fattoriale?
• In quali condizioni PCA e FA producono risultati simili?

Quindi la linea di fondo è: C&K ha deciso di coniare il termine "PCA asintotico" per PCA standard (che potrebbe anche essere chiamato "FA asintotico"). Vorrei spingermi fino al punto di non usare mai questo termine.

Tipicamente APCA viene utilizzato quando ci sono molte serie ma pochissimi campioni. Non descriverei APCA come migliore o peggiore del PCA, a causa dell'equivalenza che hai notato. Differiscono, tuttavia, quando gli strumenti sono applicabili. Questa è l'intuizione della carta: puoi capovolgere la dimensione se è più conveniente! Quindi, nell'applicazione che hai citato, ci sono molte risorse, quindi per calcolare una matrice di covarianza avresti bisogno di una serie di tempo, ma ora puoi usare APCA. Detto questo, non penso che l'APCA venga applicato molto spesso perché potresti provare a ridurre la dimensionalità usando altre tecniche (come l'analisi dei fattori).