Qual è la distribuzione di probabilità di questa somma casuale di variabili di Bernoulli non iid?

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Sto cercando di trovare la distribuzione di probabilità di una somma di un numero casuale di variabili che non sono distribuite in modo identico. Ecco un esempio:

John lavora in un call center del servizio clienti. Riceve chiamate con problemi e cerca di risolverli. Quelli che non riesce a risolvere, li inoltra al suo superiore. Supponiamo che il numero di chiamate che riceve in un giorno segua una distribuzione di Poisson con media . La difficoltà di ogni problema varia da cose piuttosto semplici (che può sicuramente affrontare) a domande molto specializzate che non saprà risolvere. Supponiamo che la probabilità sarà in grado di risolvere l' i -problema che segue una distribuzione Beta con parametri $\mu$ $p_i$ $\alpha$ e ed è indipendente dai problemi precedenti. Qual è la distribuzione del numero di chiamate che risolve in un giorno? $\beta$

Più formalmente, ho:

$Y = I(N > 0)\sum_{i = 0}^{N} X_i$ per $i = 0, 1, 2, ..., N$

dove , e $N \sim \mathrm{Poisson}(\mu)$ $(X_i | p_i) \sim \mathrm{Bernoulli}(p_i)$ $p_i \sim \mathrm{Beta}(\alpha, \beta)$

Nota che, per ora, sono felice di presumere che gli siano indipendenti. Accetterei anche che i parametri e non si influenzino a vicenda sebbene in un esempio di vita reale di questo quando è grande, i parametri e sono tali che la distribuzione Beta ha più massa su basse percentuali di successo $X_i$ $\mu, \alpha$ $\beta$ $\mu$ $\alpha$ $\beta$ $p$ . Ma ignoriamolo per ora.

Posso calcolare ma questo è tutto. Posso anche simulare i valori per avere un'idea di come sia la distribuzione di (sembra Poisson ma non so se ciò dipende dai numeri di e ho provato o se si generalizza, e come potrebbe cambiare per diversi valori di parametro). Hai idea di cosa sia questa distribuzione o di come potrei derivarne? $P(Y = 0)$ $Y$ $\mu, \alpha$ $\beta$

Tieni presente che ho anche pubblicato questa domanda sul forum TalkStats, ma ho pensato che avrebbe potuto ottenere maggiore attenzione qui. Ci scusiamo per il cross-posting e molte grazie in anticipo per il tuo tempo.

EDIT : Come si scopre (vedi le risposte molto utili di seguito - e grazie per quelle!), È davvero un distribuzione, qualcosa che stavo indovinando in base alla mia intuizione e ad alcune simulazioni, ma non sono stato in grado di dimostrare. Ciò che ora trovo sorprendente però è che la distribuzione di Poisson dipende solo dalla media di $\mathrm{Poisson}(\frac{\mu\alpha}{\alpha + \beta})$ distribuzione, ma non è influenzato dalla sua varianza. $\mathrm{Beta}$

Ad esempio, le seguenti due distribuzioni Beta hanno la stessa media ma varianza diversa. Per chiarezza, il pdf blu rappresenta un e quello rosso $\mathrm{Beta}(2, 2)$ . $\mathrm{Beta}(0.75, 0.75)$

Tuttavia, essi sarebbero entrambi risultato nella stessa distribuzione che, a me, sembra poco intuitivo. (Non dire che il risultato è sbagliato, solo sorprendente!) $\mathrm{Poisson}(0.5\mu)$

probability distributions random-variable

— Constantinos
fonte

Per

fisso c'è distribuzione binomiale di Poisson ma il tuo problema è più complicato di così.

N

$N$

— Tim

Grazie, conosco la distribuzione binomiale di Poisson, ma

è casuale qui.

N

$N$

— Costantinopoli,

Potresti dare un'occhiata al composto Poisson , ma potresti aver bisogno di fare un po 'di lavoro con gli 0 per renderlo utile

— Glen_b -Restate Monica

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Le chiamate (ovvero la ) arrivano secondo un processo di Poisson. Il numero totale di chiamate segue una distribuzione di Poisson. Dividi le chiamate in due tipi, ad esempio se o . L'obiettivo è determinare il processo che genera s. Questo è banale se con una probabilità fissa : dal principio di sovrapposizione dei processi di Poisson, l'intero processo ridotto a solo s sarebbe anche un processo di Poisson, con velocità $X_i$ $N$ $X_i = 1$ $X_i = 0$ $1$ $X_i = 1$ $p$ $1$ $p\mu$ . In realtà è così, è sufficiente un ulteriore passaggio per arrivarci.

Marginalizzare su , in modo che $p_i$

P r (X_{io} | α, β) = \int_{0}^{1} p_{io}^{X_{io}} (1 - p_{io})^{1 - X_{io}} \frac{p_{io}^{α - 1} (1 - p_{io})^{β - 1}}{B (α, β)} d p_{io} = \frac{B (X_{io} + α, 1 - X_{io} + β)}{B (α, β)}

$\mathrm{Pr}(X_i|\alpha, \beta) = \int_0^1 p_i^{X_i} (1-p_i)^{1-X_i} \frac{p_i^{\alpha-1} (1-p_i)^{\beta-1}}{\mathcal{B}(\alpha, \beta)} dp_i = \frac{\mathcal{B}(X_i + \alpha, 1 - X_i + \beta)}{\mathcal{B}(\alpha, \beta)}$

Dove è la funzione beta. Utilizzando il fatto che, quanto sopra semplifica a; $\mathcal{B}(a, b) = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a + b)}$ $\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)$

In altre parole,

P r (X_{io} = 1 | α, β) = \frac{Γ (1 + α) Γ (β)}{Γ (1 + α + β)} \frac{Γ (α + β)}{Γ (α) Γ (β)} = \frac{α}{α + β}

$\mathrm{Pr}(X_i = 1|\alpha, \beta) = \frac{\Gamma(1+\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(1+\alpha+\beta)} \frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}$

. Per la proprietà di sovrapposizione,

è Poisson distribuito con velocità

X_{i} \sim B e r n o u l l i (\frac{α}{α + β})

$X_i \sim \mathrm{Bernoulli}(\frac{\alpha}{\alpha+\beta})$

Y

$Y$

\frac{α μ}{α + β}

$\frac{\alpha \mu}{\alpha+\beta}$ .

Un esempio numerico (con R) ... nella figura, le linee verticali provengono dalla simulazione e i punti rossi sono i pmf derivati sopra:

draw <- function(alpha, beta, mu) 
{ N <- rpois(1, mu); p = rbeta(N, alpha, beta); sum(rbinom(N, size=1, prob=p)) }

pmf <- function(y, alpha, beta, mu)
  dpois(y, alpha*mu/(alpha+beta))

y <- replicate(30000,draw(4,5,10))
tb <- table(y)

# simulated pmf
plot(tb/sum(tb), type="h", xlab="Y", ylab="Probability")
# analytic pmf
points(0:max(y), pmf(0:max(y), 4, 5, 10), col="red")

— Nate Pope
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$p_i$ $\operatorname{Beta}(\alpha,\beta)$ $\mathbb{E}[p_i]= \dfrac{\alpha}{\alpha+\beta}$ $i$
$\mu$ $\dfrac{\alpha}{\alpha+\beta}$ $\dfrac{\mu\alpha}{\alpha+\beta}$
$\mathbb{P}(Y=0) = e^{-{\mu\alpha}/({\alpha+\beta})}$

— Henry
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