La somma delle variabili casuali esponenziali segue Gamma, confusa dai parametri

Ho imparato che la somma delle variabili casuali esponenziali segue la distribuzione gamma.

Ma ovunque leggo la parametrizzazione è diversa. Ad esempio, Wiki descrive la relazione, ma non dici cosa significano effettivamente i loro parametri? Forma, scala, frequenza, 1 / frequenza?

Distribuzione esponenziale: ~ $x$ $exp(\lambda)$

f (x | λ) = λ e^{- λ x}

$f(x|\lambda )=\lambda {{e}^{-\lambda x}}$

E [x] = 1 / λ

$E[x]=1/ \lambda$

v a r (x) = 1 / λ^{2}

$var(x)=1/{{\lambda}^2}$

Distribuzione gamma: $\Gamma(\text{shape}=\alpha, \text{scale}=\beta)$

f (x | α, β) = \frac{1}{β^{α}} \frac{1}{Γ (α)} x^{α - 1} e^{- \frac{x}{β}}

$f(x|\alpha ,\beta )=\frac{1}{{{\beta }^{\alpha }}}\frac{1}{\Gamma (\alpha )}{{x}^{\alpha -1}}{{e}^{-\frac{x}{\beta }}}$

E [x] = α β

$E[x]=\alpha\beta$

v a r [x] = α β^{2}

$var[x]=\alpha{\beta}^{2}$

In questa impostazione, che cos'è ? Quale sarebbe la parametrizzazione corretta? Che ne dici di estenderlo a chi-quadrato? $\sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}}$

distributions probability gamma-distribution

— edwin
fonte

Come regola empirica, i probabilisti tendono a usare

Γ (t, λ)

$\Gamma(t,\lambda)$ per indicare una distribuzione Gamma con media

\frac{t}{λ}

$\frac{t}{\lambda}$ (cioè

mentre gli statistici tendono a usare

per indicare una variabile Gamma casuale con media

, non

il modo in cui lo hai. Wikipediadescrive entrambe le convenzioni.

f (x) = \frac{λ}{Γ (t)} \cdot (λ x)^{t - 1} \exp (- λ x) 1_{(0, \infty)}

$f(x) = \frac{\lambda}{\Gamma(t)}\cdot (\lambda x)^{t-1}\exp(-\lambda x)\mathbf 1_{(0,\infty)}$

Γ (α, β)

$\Gamma(\alpha,\beta)$

α β

$\alpha\beta$

α / β

$\alpha/\beta$

— Dilip Sarwate,

scusa, hai ragione.

— edwin,

Due suggerimenti: 1. ricordarsi di verificare per coerenza dimensionale. (es. il parametro ha la stessa dimensionalità di

, o il suo recyprocal ...?) 2. poiché qui il parametro della gamma è un numero intero, potrebbe essere leggermente più semplice usare fattoriali semplici e la distribuzione di Erlang (di certo, è lo stesso)

x

$x$

— leonbloy

@edwin Quindi, per favore, modifica la tua domanda per correggere le espressioni di media e varianza.

— Dilip Sarwate,

@DilipSarwate modificato!

— edwin,

Risposte:

La somma di variabili casuali Gamma indipendenti è una variabile casuale Gamma . Non importa cosa significhi il secondo parametro (scala o inverso della scala) purché tutte le variabili casuali abbiano lo stesso secondo parametro. Questa idea si estende prontamente a variabili casuali che sono un caso speciale di variabili casuali Gamma. $n$ $\sim \Gamma(t_i, \lambda)$ $\sim \Gamma\left(\sum_i t_i, \lambda\right)$ $n$ $\chi^2$

— Dilip Sarwate
fonte

La cosa che mi confonde è che alcuni libri scrivono

dove

è il tasso, mentre altri significa 1 / tasso. C'è una notazione coerente? Se non vedo il pdf, non saprò cosa significano.

e x p (λ)

$exp(\lambda)$

λ

$\lambda$

— edwin,

Se pensi che sia confuso, attendi di incontrare normali variabili casuali. Esistono almeno tre diverse interpretazioni di

utilizzate dagli statistici.

X \sim N (μ, s)

$X \sim N(\mu,s)$

— Dilip Sarwate,

lol, sta solo rovinando anime innocenti che vogliono studiare l'argomento. Personalmente ritengo che sia scritto male da parte dell'autore, allo stesso tempo, sono d'accordo sul fatto che devo adattare la capacità di individuare cose sbagliate. Ma comunque, non quando faccio piccoli passi.

— Edwin,

Vabbè, come autore della risposta all'altra domanda, sono deluso dal fatto che tu pensi che quella risposta sia scritta male. Suggerimenti per migliorarlo sono i benvenuti.

— Dilip Sarwate,

Non mi riferisco al tuo link.

— Edwin,

La somma di IID distribuzione esponenziale con scala (tasso ) è gamma-distribuita con figura e la scala (tasso ). $n$ $\theta$ $\theta^{-1}$ $n$ $\theta$ $\theta^{-1}$

— Neil G
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la distribuzione gamma è fatta di distribuzione esponenziale ovvero la distribuzione esponenziale è base per la distribuzione gamma. quindi se abbiamo , purché tutti gli siano indipendenti. $f(x|\lambda)=\lambda e^{−\lambda x}$ $\sum_n x_i \sim \text{Gamma}(n,\lambda)$ $X_i$

f (x | α, β) = \frac{β^{α}}{Γ (α)} \cdot x^{α - 1} \cdot e^{- x β}

$f(x|\alpha,\beta)=\frac{\beta^α}{\Gamma(\alpha)} \cdot x^{\alpha−1} \cdot e^{−x\beta}$

— hasanmisaii
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Ho formattato la parte matematica della tua risposta. Controlla se questo è ancora ciò che volevi esprimere.

— Andy,

La tua affermazione

è errata a meno che non la qualifichi insistendo sul fatto che

sono variabili casuali indipendenti .

\sum x_{i} \sim Gamma (n, λ)

$\sum x_i \sim \text{Gamma}(n,\lambda)$

x_{i}

$x_i$

— Dilip Sarwate,