Non capisco la varianza del binomio

Mi sento davvero stupido anche facendo una domanda così semplice ma qui va:

Se ho una variabile casuale $X$ che può assumere valori $0$ e $1$ , con $P(X=1) = p$ e $P(X=0) = 1-p$ , quindi se ne estraggo $n$ campioni, otterrò una distribuzione binomiale.

La media della distribuzione è

$\mu = np = E(X)$

La varianza della distribuzione è

$\sigma^2 = np(1-p)$

Ecco dove inizia il mio problema:

La varianza è definita da . Poiché il quadrato dei due possibili esiti non cambia nulla ( e ), ciò significa , quindi significa $\sigma^2 = E(X^2) - E(X)^2$ $X$ $0^2 = 0$ $1^2 = 1$ $E(X^2) = E(X)$

$\sigma^2 = E(X^2) - E(X)^2 = E(X) - E(X)^2 = np - n^2p^2 = np(1-np) \neq np(1-p)$

Dove va l'extra ? Come probabilmente puoi dire, non sono molto bravo con le statistiche, quindi per favore non usare una terminologia complicata: s $n$

variance binomial

— Dain
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e questi sono indipendenti, allora

X = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}

$X=X_1+X_2+\cdots +X_n$

. Ma un percorso ancora più semplice è

quindi

quindi con indipendenza

E [X^{2}] = E [X_{1}^{2} + X_{1} X_{2} + \dots + X_{1} X_{n} + X_{2} X_{1} + X_{2}^{2} + \dots] = n (n - 1) p^{2} + n p

$E[X^2]=E[X_1^2+X_1X_2 +\cdots+X_1X_n+X_2X_1+X_2^2+\cdots]=n(n-1)p^2 +np$

E [X_{1}]^{2} = p

$E[X_1]^2=p$

V a r [X_{1}] = p - p^{2}

$Var[X_1]=p-p^2$

V a r [X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}] = n (p - p^{2})

$Var[X_1+X_2+\cdots+X_n]=n(p-p^2)$

— Henry,

Risposte:

Una variabile casuale assume valori e con probabilità e è chiamata variabile casuale di Bernoulli con il parametro . Questa variabile casuale ha $X$ $0$ $1$ $P(X=1)=p$ $P(X=0)=1-p$ $p$ Supponi di avere un campione casualedi dimensionedae definire una nuova variabile casuale

\begin{array}{rcl} E (X) & = & 0 \cdot (1 - p) + 1 \cdot p = p \\ E (X^{2}) & = & 0^{2} \cdot (1 - p) + 1^{2} \cdot p = p \\ V a r (X) & = & E (X^{2}) - (E (X))^{2} = p - p^{2} = p (1 - p) \end{array}

$\begin{eqnarray*} E(X)&=&0\cdot (1-p) + 1\cdot p = p\\ E(X^2)&=&0^2\cdot(1-p) + 1^2\cdot p = p\\ Var(X)&=& E(X^2)-(E(X))^2=p-p^2=p(1-p) \end{eqnarray*}$

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$

n

$n$

B e r n o u l l i (p)

$Bernoulli(p)$

, quindi la distribuzione di

si chiama Binomiale, i cui parametri sono

. La media e la varianza della variabile casuale binomiale Y è data da

Y = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}

$Y=X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}$

Y

$Y$

n

$n$

p

$p$

\begin{array}{rcl} E (Y) & = & E (X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}) = \underset{n}{\underset{⏟}{p + p + \dots + p}} = n p \\ V a r (Y) & = & V a r (X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}) = V a r (X_{1}) + V a r (X_{2}) + \dots + V a r (X_{n}) \\ (as X_{i}'s are independent) \\ = & \underset{n}{\underset{⏟}{p (1 - p) + p (1 - p) + \dots + p (1 - p)}} (as X_{i}'s are identically distributed) \\ = & n p (1 - p) \end{array}

$\begin{eqnarray*} E(Y)&=&E(X_{1}+X_{2}+\cdots + X_{n})=\underbrace{ p+p+\cdots +p}_{n}=np\\ Var(Y)&=& Var(X_{1}+X_{2}+\cdots + X_{n})=Var(X_{1})+Var(X_{2})+\cdots + Var(X_{n})\\ & &\text{ (as $X_{i}$'s are independent)} \\ &=&\underbrace{p(1-p)+p(1-p)+\cdots+ p(1-p)}_{n}\quad \text{ (as $X_{i}$'s are identically distributed)} \\ &=&np(1-p) \end{eqnarray*}$

— L.V.Rao
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How does this answer the question, which was "Where does the extra n go?"?

— amoeba says Reinstate Monica

@amoeba Thank you very much for your comment. As OP could not distinguish between Bernoulli and Binomial random variables, I thought of reminding him the necessary definitions and the process of obtaining the required expressions.

— L.V.Rao

I am just saying that your answer would (in my opinion) improve if you explicitly point out the mistake in OP's reasoning. Your answer derives the correct formulas, but does not show where OP went wrong.

— amoeba says Reinstate Monica

@amoeba True. Giving some direction, making them correct themselves also helps sometimes.

— L.V.Rao

Two mistakes in your proving process:

1: $X$ in first paragraph has different definition comparing with $X$ in the rest of article.

2: Under the condition that $X$ ~ $Bin(p, n)$ , $E(X^2) \ne E(X)$ . Try to work from $E(X^2) = \sum {\left(x^2\Pr(X=x)\right)}$

— user158565
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If you like making your eyes bleed, I transcribed a lot of my notes from grad school. This particular link shows the derivation of E(X) and E(X^2) nutterb.github.io/ItCanBeShown/…

— Benjamin